Em um circuito LC oscilante, L=3,00 mH e C=2,70 mu F. No instante t=0, a carga do capacitor é zero e a corrente é 2,00 A. (b) Em que instante de tempo t>0 a taxa com a qual a energia é armazenada no capacitor é máxima pela primeira vez?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um circuito LC oscilante, onde temos uma bobina de indutância e um capacitor de capacitância . No instante inicial ( ), a carga no capacitor é zero e a corrente é . Nosso objetivo aqui é descobrir em que momento ( ) a taxa com a qual a energia é armazenada no capacitor atinge seu valor máximo pela primeira vez. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre circuitos LC e como a energia se comporta nesses sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um circuito LC oscilante, a frequência angular omega = 1raizLC é dada por:
L = 3,00 times 10^-3 , H e C = 2,70 times 10^-6 , F
Vamos calcular omega = 1raiz3,00 times 10^-3 times 2,70 times 10^-6 = 1raiz8,1 times 10^-9 = 19,0 times 10^-5 = 1,111 times 10^4 , rad/s com os valores fornecidos:

Passo 3

Com a frequência angular Q(t) = Qmax sin(omega t) conhecida, podemos expressar a carga I(t) = Imax cos(omega t) e a corrente no capacitor e na bobina, respectivamente, usando funções trigonométricas:
Sabemos que no instante , e , o que nos indica que e são as amplitudes máximas da carga e da corrente.

Passo 4

A energia armazenada no capacitor é dada por:
UC = Q^22C
A taxa de variação dessa energia em relação ao tempo é:
dUCdt = QC cdot dQdt
Como dUCdt = Q(t) cdot I(t)C = Qmax sin(omega t) cdot Imax cos(omega t)C , então:
dUCdt = Qmax Imax2C sin(2omega t)
Isso simplifica para:

Passo 5

Para encontrar o instante em que 2omega t = pi2 é máxima, precisamos maximizar a função t = pi4omega . O seno atinge seu valor máximo de 1 quando:
Resolvend
o para :

Passo 6

Agora, substituímos o valor de t = pi4 times 1,111 times 10^4 approx 3,14164 times 1,111 times 10^4 approx 3,14164,444 times 10^4 approx 7,07 times 10^-5 , s que calculamos no Passo 2:

Resposta

O instante de tempo em que a taxa com a qual a energia é armazenada no capacitor é máxima pela primeira vez é aproximadamente segundos.

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