Em um circuito LC oscilante,
e
. No instante
, a carga do capacitor é zero e a corrente é
. © Qual é o valor da taxa?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um circuito LC oscilante onde a indutância
é de
e a capacitância
é de
. No instante inicial
, a carga no capacitor é zero e a corrente é de
. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor da taxa, que nesse contexto refere-se à derivada da corrente em relação ao tempo, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que em um circuito LC oscilante, a relação entre a indutância, capacitância e a taxa de variação da corrente é dada pela equação diferencial:
Mas, sabemos que a corrente
é a derivada da carga
em relação ao tempo:
No instante
, a carga
e a corrente
. Vamos usar isso para encontrar
.
Passo 3
Derivando a equação
em relação ao tempo, temos:
Mas usando a primeira equação que montamos:
Substituindo
no instante
:
Isso sugere que a taxa de variação da corrente no instante inicial é zero. No entanto, isso contradiz a presença de uma corrente inicial. Vamos revisar nossa abordagem.
Passo 4
Na verdade, devemos considerar a energia armazenada no indutor e no capacitor. A energia no indutor é:
E a energia no capacitor é:
No instante
, toda a energia está no indutor, já que
. A taxa de variação da corrente está relacionada à energia transferida para o capacitor. Usando a equação de conservação de energia:
Calculando as derivadas:
Como
no instante
, novamente temos:
Isso confirma que a taxa de variação da corrente no instante inicial é zero.
Resposta
A taxa de variação da corrente no instante
é
.