Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um circuito LC oscilante onde a indutância é de e a capacitância é de . No instante inicial , a carga no capacitor é zero e a corrente é de . Nosso objetivo aqui é encontrar o valor da taxa, que nesse contexto refere-se à derivada da corrente em relação ao tempo, ou seja, .
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que em um circuito LC oscilante, a relação entre a indutância, capacitância e a taxa de variação da corrente é dada pela equação diferencial:
Mas, sabemos que a corrente é a derivada da carga em relação ao tempo:
No instante , a carga e a corrente . Vamos usar isso para encontrar .
Passo 3
Derivando a equação em relação ao tempo, temos:
Mas usando a primeira equação que montamos:
Substituindo no instante :
Isso sugere que a taxa de variação da corrente no instante inicial é zero. No entanto, isso contradiz a presença de uma corrente inicial. Vamos revisar nossa abordagem.
Passo 4
Na verdade, devemos considerar a energia armazenada no indutor e no capacitor. A energia no indutor é:
E a energia no capacitor é:
No instante , toda a energia está no indutor, já que . A taxa de variação da corrente está relacionada à energia transferida para o capacitor. Usando a equação de conservação de energia:
Calculando as derivadas:
Como no instante , novamente temos:
Isso confirma que a taxa de variação da corrente no instante inicial é zero.