Um circuito RCL ligado em série tem ohms, farad, henries e uma tensão aplicada sen . Admitindo que não haja carga inicial no capacitor, mas uma corrente inicial de 1 ampère em quando a tensão é aplicada inicialmente, determine a carga subsequente no capacitor. Lembrando que num circuito elétrico RLC, temos que:
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Câmpus Londrina
Resposta:
Passo 1
Vamos começar entendendo o problema. Temos um circuito RCL em série com resistência ohms, capacitância farads, indutância henries e uma tensão aplicada de . Precisamos determinar a carga no capacitor para , considerando que inicialmente não há carga no capacitor, mas há uma corrente de 1 ampère no instante . Para resolver isso, vamos utilizar a equação diferencial que descreve o comportamento de um circuito RCL:
Passo 2
Primeiro, vamos substituir os valores de , e na equação diferencial:
Simplificando os coeficientes:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação:
As raízes são:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 4
Em seguida, encontramos uma solução particular da equação completa. Como o termo do lado direito é , assumimos uma solução da forma:
Calculamos as derivadas de :
Substituindo e suas derivadas na equação diferencial:
Simplificando os termos:
Passo 5
Para que a igualdade seja válida para todo , os coeficientes de e devem ser iguais dos dois lados. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Multiplicando ambos os lados por 13 para eliminar o denominador:
Então,
Passo 6
Agora, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 7
Aplicamos as condições iniciais para determinar os coeficientes e . Sabemos que:
Primeiro, calculando :
Ou seja,
Agora, derivando :
Aplicando :
Portanto,
Passo 8
Resolvendo o sistema de equações (3) e (4):
Da equação (3):
Substituindo na equação (4):
Então,
Resposta
Substituindo os valores de e na solução geral, obtemos a carga no capacitor: