Um circuito RCL ligado em série tem R = 180 ohms, C = 1 / 280 farad, L = 20 henries e uma tensão aplicada E(t) = 10 sen t. Admitindo que não haja carga inicial no capacitor, mas uma corrente inicial de 1 ampère em t = 0 quando a tensão é aplicada inicialmente, determine a carga subsequente no capacitor. Lembrando que num circuito elétrico RLC, temos que:

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Câmpus Londrina
q'' + R/L q' + 1/(L C) q = E(t)/L
Resposta:
q(t) = 1/500(110 e^(-2t) - 101 e^(-7t) - 9 cos(t) + 13 sen(t))

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema. Temos um circuito RCL em série com resistência ohms, capacitância farads, indutância henries e uma tensão aplicada de . Precisamos determinar a carga no capacitor para q(t), considerando que inicialmente não há carga no capacitor, mas há uma corrente de 1 ampère no instante . Para resolver isso, vamos utilizar a equação diferencial que descreve o comportamento de um circuito RCL:

Passo 2

Primeiro, vamos substituir os valores de R, L e C na equação diferencial:
Simplificando os coeficientes:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação:
As raízes são:
Portanto, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 4

Em seguida, encontramos uma solução particular da equação completa. Como o termo do lado direito é , assumimos uma solução da forma:
Calculamos as derivadas de :
Substituindo e suas derivadas na equação diferencial:
Simplificando os termos:

Passo 5

Para que a igualdade seja válida para todo t, os coeficientes de cos(t) e devem ser iguais dos dois lados. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Multiplicando ambos os lados por 13 para eliminar o denominador:
Então,

Passo 6

Agora, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:

Passo 7

Aplicamos as condições iniciais para determinar os coeficientes A e B. Sabemos que:
Primeiro, calculando q(0):
Ou seja,
Agora, derivando q(t):
Aplicando :
t = 0
Portanto,

Passo 8

Resolvendo o sistema de equações (3) e (4):
Da equação (3):
Substituindo na equação (4):
Então,

Resposta

Substituindo os valores de A e B na solução geral, obtemos a carga no capacitor:

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