Resolva os problemas de valor inicial:
3. x1' = x1 + x2 + x3, x2' = 2 * x2 + x3, x3' = x3 com x1(0)=1 ; x2(0)=1 ; x3(0)=2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações diferenciais de primeira ordem com condições iniciais. Ou seja, precisamos encontrar as funções , e que satisfazem as equações:
com as condições iniciais:
Vamos resolver esse sistema passo a passo, usando métodos de solução de sistemas lineares de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação mais simples, que é a de :
Essa é uma equação diferencial logística básica, cuja solução é:
Como , temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação de :
Sabemos que , então substituindo na equação:
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea. Para resolver, usamos o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação por :
Isso pode ser reescrito como:
Integrando ambos os lados:
Dividindo por :
Agora, aplicamos a condição inicial :
Então, a solução para é:

Passo 4

Finalmente, vamos resolver a equação de :
Já temos e , então substituímos:
Simplificando os termos constantes:
Essa também é uma equação diferencial linear não homogênea. Usamos o fator integrante :
Multiplicando toda a equação por :
Reescrevendo:
Integrando ambos os lados:
Simplificando:
Dividindo por :
Aplicando a condição inicial :
Portanto, a solução para é:

Resposta

As soluções do sistema com as condições iniciais dadas são:

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UTrPR <br> UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ - UTFPR

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