Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados (Método de Descartes):
a) y'' + 3y' + 2y = 6 y = C1 * e^(-x) + C2 * e^(-2x) + 3
b) 4 y'' + 9 y = 15 y = C1 cos(3/2 x) + C2 sen(3/2 x) + 5/3
c) y'' - 10y' + 25y = 30x + 3 y = C1 * e^(5 * x) + C2 * x * e^(5 * x) + 6/5 * x + 3/5
d) y'' - y' + 1/4 y = 3 + e^(x/2) y = C1 e^(x/2) + C2 x e^(x/2) + 12 + 1/2 x^2 e^(x/2)
e) y'' - 16y = 2e^(4x) y = C1 e^(4 x) + C2 e^(-4 x) + (1/4) x e^(4 x)
f) y'' + 4 y = 3 sen(2 x) y = C1 cos(2 x) + C2 sen(2 x) - 3/4 x cos(2 x)
g) y''' - 2y'' - 4y' + 8y = 6x e^(2x) y = C1 * e^(2 * x) + C2 * x * e^(2 * x) + C3 * e^(-2 * x) + (1/4 * x^3 - 3/16 * x^2) * e^(2 * x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes indeterminados. A matéria que vamos utilizar aqui envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e uma parte forçada (nesse caso, o 6). Precisamos encontrar a solução geral dessa equação, que é composta pela solução da equação homogênea e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, assumimos que a solução tem a forma . Substituindo na equação, temos:
Dividindo por (que nunca é zero), obtemos a equação característica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica . Podemos fatorar:
Então, as raízes são e .

Passo 4

Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar com condições iniciais (se forem fornecidas).

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é uma constante (6), vamos tentar uma solução particular também constante. Vamos supor que , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 6

Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Então, a solução particular é .

Passo 7

Agora, a solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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