Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados (Método de Descartes):
a)
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b)
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c)
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d)
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e)
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f)
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g)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes indeterminados. A matéria que vamos utilizar aqui envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e uma parte forçada (nesse caso, o 6). Precisamos encontrar a solução geral dessa equação, que é composta pela solução da equação homogênea e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, assumimos que a solução tem a forma
. Substituindo na equação, temos:
Dividindo por
(que nunca é zero), obtemos a equação característica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica
. Podemos fatorar:
Então, as raízes são
e
.
Passo 4
Com as raízes da equação característica, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar com condições iniciais (se forem fornecidas).
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é uma constante (6), vamos tentar uma solução particular também constante. Vamos supor que
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 6
Substituindo
na equação diferencial:
Simplificando:
Então, a solução particular é
.
Passo 7
Agora, a solução geral da equação diferencial completa é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: