No circuito RC, resistência R, capacitância C e força eletromotriz E, colocando a chave
na posição
o capacitor é carregado e
é chamado constante de tempo capacitiva. Sendo a corrente
, então:
a) Encontre
b) Encontre
para
e
c) O que acontece quando
cresce muito?
d) Esboce o gráfico de
em função de
.
Figura 1: Questão 08
a) Encontre
b) Encontre
c) O que acontece quando
d) Esboce o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata de um circuito RC, que envolve resistência ®, capacitância © e uma força eletromotriz (E). Quando a chave é colocada na posição “a”, o capacitor começa a carregar. A gente vai usar a fórmula da carga do capacitor ao longo do tempo:
. A corrente
é a taxa de variação da carga em relação ao tempo, ou seja,
. Para resolver as partes do exercício, vamos precisar entender como derivar funções exponenciais e aplicar esses conceitos no contexto do circuito RC.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a corrente
. Sabemos que
. Vamos derivar a expressão de
em relação a
.
A função da carga é:
Derivando em relação a
:
Então, a corrente
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a corrente
para valores específicos de
:
,
,
e
. Vamos substituir esses valores na expressão de
.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Vamos analisar o que acontece quando
cresce muito, ou seja, quando
tende ao infinito. Observando a expressão da corrente:
Conforme
aumenta, o expoente
se torna cada vez mais negativo, o que faz com que
se aproxime de zero. Portanto:
Isso significa que, com o passar do tempo, a corrente diminui exponencialmente e acaba se aproximando de zero.
Passo 5
Por fim, vamos esboçar o gráfico de
em função de
. Sabemos que no instante inicial (
), a corrente é máxima
. Conforme o tempo passa, a corrente diminui exponencialmente até se aproximar de zero. O gráfico terá uma curva decrescente, começando no ponto
e tendendo horizontalmente ao longo do eixo
conforme
se aproxima de zero.
Resposta
a) A corrente em função do tempo é:
b) Os valores da corrente para os tempos especificados são:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
c) Quando
cresce muito, a corrente
se aproxima de zero, ou seja, o capacitor está totalmente carregado e a corrente deixa de fluir.
d) O gráfico de
em função de
é uma curva exponencial decrescente, iniciando em
no instante
e tendendo a zero conforme
aumenta.
Exercícios relacionados
Encontre os números críticos da função
.
Para as seguintes funções determine as assíntotas horizontais, verticais e/ou oblíqua(caso existirem).
.
© todo plano tangente ao cone
passa pela origem.
Calcule: