No circuito RC, resistência R, capacitância C e força eletromotriz E, colocando a chave s na posição a o capacitor é carregado e q = C E(1 - e^(-t / (R C))), R C é chamado constante de tempo capacitiva. Sendo a corrente i = dq/dt, então:
a) Encontre i(t)
b) Encontre i para t = 0, t = 2 R C, t = 4 R C e t = 8 R C
c) O que acontece quando t cresce muito?
d) Esboce o gráfico de i em função de t.
Figura 1: Questão 08

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata de um circuito RC, que envolve resistência ®, capacitância © e uma força eletromotriz (E). Quando a chave é colocada na posição “a”, o capacitor começa a carregar. A gente vai usar a fórmula da carga do capacitor ao longo do tempo: . A corrente é a taxa de variação da carga em relação ao tempo, ou seja, . Para resolver as partes do exercício, vamos precisar entender como derivar funções exponenciais e aplicar esses conceitos no contexto do circuito RC.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a corrente . Sabemos que . Vamos derivar a expressão de em relação a .
A função da carga é:
Derivando em relação a :
Então, a corrente é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a corrente para valores específicos de : , , e . Vamos substituir esses valores na expressão de .
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 4

Vamos analisar o que acontece quando cresce muito, ou seja, quando tende ao infinito. Observando a expressão da corrente:
Conforme aumenta, o expoente se torna cada vez mais negativo, o que faz com que se aproxime de zero. Portanto:
Isso significa que, com o passar do tempo, a corrente diminui exponencialmente e acaba se aproximando de zero.

Passo 5

Por fim, vamos esboçar o gráfico de em função de . Sabemos que no instante inicial ( ), a corrente é máxima . Conforme o tempo passa, a corrente diminui exponencialmente até se aproximar de zero. O gráfico terá uma curva decrescente, começando no ponto e tendendo horizontalmente ao longo do eixo conforme se aproxima de zero.

Resposta

a) A corrente em função do tempo é:
b) Os valores da corrente para os tempos especificados são:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
c) Quando cresce muito, a corrente se aproxima de zero, ou seja, o capacitor está totalmente carregado e a corrente deixa de fluir.
d) O gráfico de em função de é uma curva exponencial decrescente, iniciando em no instante e tendendo a zero conforme aumenta.

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