Para as seguintes funções determine as assíntotas horizontais, verticais e/ou oblíqua(caso existirem).
f(x) = (2 + x - x^2) / (x - 1)^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar as assíntotas horizontais, verticais e/ou oblíquas da função . Vamos usar os conceitos de funções racionais e analisar o comportamento da função para encontrar essas assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas acontecem onde o denominador é igual a zero, mas o numerador não é. Então, vamos resolver .
Agora, verificamos o numerador em :
Então, temos uma assíntota vertical em .

Passo 3

Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais. Para isso, comparamos os graus do numerador e do denominador:
  • Grau do numerador: 2 (de )
  • Grau do denominador: 2 (de )
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais. O coeficiente principal do numerador é -1 e do denominador é 1. Então:
Portanto, a assíntota horizontal é .

Passo 4

Por último, vamos verificar se existe alguma assíntota oblíqua. Esse tipo de assíntota ocorre apenas quando o grau do numerador é exatamente um a mais que o do denominador. No nosso caso, ambos têm grau 2, então não há assíntota oblíqua.

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em . Não há assíntota oblíqua.

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Figura 1: Questão 08