Os circuitos, cujas funções de transferência são dadas a seguir, săo estáveis ou năo? F(x)=2 x^3+4 s^2+1(x^2+2 x+17)(s^2+4 s+20)

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma função de transferência dada por:
F(x) = 2x^3 + 4s^2 + 1(x^2 + 2x + 17)(s^2 + 4s + 20)
Precisamos determinar se os circuitos correspondentes a essas funções de transferência são estáveis ou não. Para isso, vamos utilizar conceitos de estabilidade em sistemas de controle, que envolvem analisar os polos da função de transferência.

Passo 2

A estabilidade de um sistema depende dos polos da função de transferência, que são as raízes do denominador. Se todos os polos tiverem partes reais negativas, o sistema é estável. Vamos encontrar os polos resolvendo as equações do denominador.

Passo 3

Primeiro, vamos considerar a parte do denominador que envolve x^2 + 2x + 17 = 0 :
x = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 1 cdot 172 cdot 1 = -2 pm raiz4 - 682 = -2 pm raiz-642 = -2 pm 8i2 = -1 pm 4i
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os polos para essa parte são e .

Passo 4

Agora, vamos analisar a parte do denominador que envolve s^2 + 4s + 20 = 0 :
s = -4 pm raiz(4)^2 - 4 cdot 1 cdot 202 cdot 1 = -4 pm raiz16 - 802 = -4 pm raiz-642 = -4 pm 8i2 = -2 pm 4i
Aplicando a fórmula de Bhaskara novamente:
Portanto, os polos para essa parte são e .

Passo 5

Agora que encontramos todos os polos, vamos verificar suas partes reais:
  • Para , a parte real é , que é negativa.
  • Para , a parte real é , que também é negativa.
Como todas as partes reais dos polos são negativas, isso indica que os circuitos são estáveis.

Resposta

Os circuitos são estáveis, pois todos os polos das funções de transferência têm partes reais negativas.

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