Numa circunferência, existem 20 pontos igualmente espaçados. Davi traça todos os possíveis segmentos de reta ligando 2 desses pontos. Quantos desses segmentos são maiores do que o raioe menores do que o diâmetro dessa circunferência?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma circunferência com 20 pontos igualmente distribuídos. O Davi está conectando todos os pares de pontos com segmentos de reta. Queremos saber quantos desses segmentos têm comprimento maior que o raio da circunferência e menor que o diâmetro. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria relacionados a circunferências e comprimentos de cordas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular quantos segmentos de reta Davi pode desenhar no total. Como ele está conectando quaisquer dois dos 20 pontos, o número total de segmentos é dado pela combinação de 20 pontos tomados 2 a 2:
C(20, 2) = 20 times 192 = 190
Então, existem 190 segmentos possíveis no total.

Passo 3

Agora, vamos entender quais desses segmentos têm comprimento maior que o raio e menor que o diâmetro. Em uma circunferência:
  • O raio é a distância do centro até qualquer ponto na circunferência.
  • O diâmetro é o dobro do raio, ou seja, 2R.
O comprimento de uma corda (segmento de reta que liga dois pontos na circunferência) depende do ângulo central formado pelos dois pontos em relação ao centro da circunferência.

Passo 4

A fórmula para calcular o comprimento l de uma corda em função do ângulo central theta é:
l = 2R times sin(theta2)
Queremos que l > R e l < 2R. Vamos colocar essas desigualdades na fórmula:
  1. 2R times sin(theta2) > R
  2. 2R times sin(theta2) < 2R

Passo 5

Vamos simplificar a primeira desigualdade:
2R times sin(theta2) > R Rightarrow sin(theta2) > 12
Sabemos que sin(theta2) > 12 quando:
theta2 > 30^circ Rightarrow theta > 60^circ
A segunda desigualdade:
2R times sin(theta2) < 2R Rightarrow sin(theta2) < 1
Como sin(theta2) sempre será menor que 1 para theta < 180^circ, essa condição já está atendida, exceto quando theta = 180^circ, que corresponde ao diâmetro.

Passo 6

Assim, queremos os segmentos cuja corda está associada a um ângulo central maior que 60^circ e menor que 180^circ.
Sabendo que os 20 pontos estão igualmente espaçados, o ângulo entre pontos adjacentes é:
360^circ20 = 18^circ
Portanto, o ângulo central theta entre dois pontos que estão k pontos de distância é:
theta = 18^circ times k
Queremos:
60^circ < 18^circ times k < 180^circ Rightarrow 6018 < k < 18018 Rightarrow 33 < k < 10
Como k deve ser um número inteiro, temos:
k = 4, 5, 6, 7, 8, 9

Passo 7

Para cada valor de k (de 4 a 9), existem 20 segmentos correspondentes (um para cada ponto inicial). Portanto, o número total de segmentos que atendem às condições é:
6 valores de k times 20 segmentos cada = 120 segmentos

Resposta

Existem 120 segmentos com comprimento maior que o raio e menor que o diâmetro da circunferência.

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