Numa circunferência, existem 20 pontos igualmente espaçados. Davi traça todos os possíveis segmentos de reta ligando 2 desses pontos. Quantos desses segmentos são maiores do que o raioe menores do que o diâmetro dessa circunferência?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma circunferência com 20 pontos igualmente distribuídos. O Davi está conectando todos os pares de pontos com segmentos de reta. Queremos saber quantos desses segmentos têm comprimento maior que o raio da circunferência e menor que o diâmetro. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria relacionados a circunferências e comprimentos de cordas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular quantos segmentos de reta Davi pode desenhar no total. Como ele está conectando quaisquer dois dos 20 pontos, o número total de segmentos é dado pela combinação de 20 pontos tomados 2 a 2:
Então, existem 190 segmentos possíveis no total.
Passo 3
Agora, vamos entender quais desses segmentos têm comprimento maior que o raio e menor que o diâmetro. Em uma circunferência:
- O raio é a distância do centro até qualquer ponto na circunferência.
- O diâmetro é o dobro do raio, ou seja,
.
O comprimento de uma corda (segmento de reta que liga dois pontos na circunferência) depende do ângulo central formado pelos dois pontos em relação ao centro da circunferência.
Passo 4
A fórmula para calcular o comprimento
de uma corda em função do ângulo central
é:
Queremos que
e
. Vamos colocar essas desigualdades na fórmula:
Passo 5
Vamos simplificar a primeira desigualdade:
Sabemos que
quando:
A segunda desigualdade:
Como
sempre será menor que 1 para
, essa condição já está atendida, exceto quando
, que corresponde ao diâmetro.
Passo 6
Assim, queremos os segmentos cuja corda está associada a um ângulo central maior que
e menor que
.
Sabendo que os 20 pontos estão igualmente espaçados, o ângulo entre pontos adjacentes é:
Portanto, o ângulo central
entre dois pontos que estão
pontos de distância é:
Queremos:
Como
deve ser um número inteiro, temos:
Passo 7
Para cada valor de
(de 4 a 9), existem 20 segmentos correspondentes (um para cada ponto inicial). Portanto, o número total de segmentos que atendem às condições é:
Resposta
Existem 120 segmentos com comprimento maior que o raio e menor que o diâmetro da circunferência.