Uma circunferência de raio r>0 tem seu centro C=(x0, y0) no primeiro quadrante do plano, ou seja, que x0>0, y0>0. Determine as condições sobre os números x0, yo e r de modo que a circunferência:
c) intersecte o eixo-y em exatamente um ponto;
c) x0=r

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma circunferência com raio e centro no ponto que está no primeiro quadrante, ou seja, e . A questão é determinar as condições sobre , e para que a circunferência intersecte o eixo-y em exatamente um ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender como uma circunferência se relaciona com os eixos coordenados e usar as equações da circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação geral de uma circunferência no plano cartesiano:
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2
Essa equação representa todos os pontos que estão a uma distância do centro .

Passo 3

Para encontrar onde a circunferência intersecta o eixo-y, vamos substituir (0 - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2 na equação da circunferência, já que qualquer ponto no eixo-y tem a coordenada x0^2 + (y - y0)^2 = r^2 .
Substituindo:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para (y - y0)^2 = r^2 - x0^2 :
r^2 - x0^2 = 0
Para que a circunferência intersecte o eixo-y em exatamente um ponto, deve haver exatamente uma solução para . Isso acontece quando o lado direito da equação é igual a zero, pois a raiz quadrada de zero é única.
Então, temos:

Passo 5

Resolvendo a equação r^2 = x0^2 :
x0 = r (como r > 0 e x0 > 0)

Resposta

A circunferência intersecta o eixo-y em exatamente um ponto se e somente se .

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