Uma circunferência de raio tem seu centro no primeiro quadrante do plano, ou seja, que . Determine as condições sobre os números e de modo que a circunferência:
c) intersecte o eixo-y em exatamente um ponto;
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma circunferência com raio e centro no ponto que está no primeiro quadrante, ou seja, e . A questão é determinar as condições sobre , e para que a circunferência intersecte o eixo-y em exatamente um ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender como uma circunferência se relaciona com os eixos coordenados e usar as equações da circunferência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação geral de uma circunferência no plano cartesiano:
Essa equação representa todos os pontos que estão a uma distância do centro .
Passo 3
Para encontrar onde a circunferência intersecta o eixo-y, vamos substituir na equação da circunferência, já que qualquer ponto no eixo-y tem a coordenada .
Substituindo:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para :
Para que a circunferência intersecte o eixo-y em exatamente um ponto, deve haver exatamente uma solução para . Isso acontece quando o lado direito da equação é igual a zero, pois a raiz quadrada de zero é única.
Então, temos:
Passo 5
Resolvendo a equação :
Resposta
A circunferência intersecta o eixo-y em exatamente um ponto se e somente se .