Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício tá pedindo. A gente precisa achar a matriz inversa da matriz 1 & 3 & 1 2 & 1 & 4 5 & 4 & 3 usando a fórmula geral em termos de cofatores. Pra isso, vamos precisar calcular o determinante de , a matriz de cofatores e a adjunta da matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante de det(A) = 1 cdot det1 & 4 4 & 3 - 3 cdot det2 & 4 5 & 3 + 1 cdot det2 & 1 5 & 4 , que é essencial pra saber se a matriz é invertível (ou seja, se o determinante é diferente de zero). Para uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vou usar a expansão pela primeira linha:
Como o determinante M11 = 1 & 4 4 & 3, det(M11) = -13 é diferente de zero, a matriz C11 = (-1)^1+1 cdot (-13) = -13 é invertível. Agora, vamos calcular a matriz de cofatores. Cada elemento dessa matriz é dado por M12 = 2 & 4 5 & 3, det(M12) = -14 , onde C12 = (-1)^1+2 cdot (-14) = 14 é a matriz que fica removendo a i-ésima linha e j-ésima coluna de M13 = 2 & 1 5 & 4, det(M13) = 3 .
Vamos calcular cada cofator:
Para C13 = (-1)^1+3 cdot 3 = 3 :
M21 = 3 & 1 4 & 3, det(M21) = 5
C21 = (-1)^2+1 cdot 5 = -5
Para M22 = 1 & 1 5 & 3, det(M22) = -2 :
C22 = (-1)^2+2 cdot (-2) = -2
M23 = 1 & 3 5 & 4, det(M23) = -11
Para C23 = (-1)^2+3 cdot (-11) = 11 :
M31 = 3 & 1 1 & 4, det(M31) = 11
C31 = (-1)^3+1 cdot 11 = 11
Continuando para a segunda linha:
Para M32 = 1 & 1 2 & 4, det(M32) = 2 :
C32 = (-1)^3+2 cdot 2 = -2
M33 = 1 & 3 2 & 1, det(M33) = -5
Para C33 = (-1)^3+3 cdot (-5) = -5 :
Cof(A) = -13 & 14 & 3 -5 & -2 & 11 11 & -2 & -5
Para :
E na terceira linha:
Para :
Para :
Para :
Assim, a matriz de cofatores fica:
Passo 4
Agora vamos para a matriz adjunta, que é a transposta da matriz de cofatores. Transpor significa trocar as linhas pelas colunas.
Adj(A) = -13 & -5 & 11 14 & -2 & -2 3 & 11 & -5
Passo 5
Com a adjunta e o determinante em mãos, podemos achar a inversa usando a fórmula: