Usando a fórmula geral em termos dos cofatores, encontre a matriz inversa da matriz .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício tá pedindo. A gente precisa achar a matriz inversa da matriz usando a fórmula geral em termos de cofatores. Pra isso, vamos precisar calcular o determinante de , a matriz de cofatores e a adjunta da matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante de , que é essencial pra saber se a matriz é invertível (ou seja, se o determinante é diferente de zero). Para uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vou usar a expansão pela primeira linha:
Calculando os menores:
Então,
Passo 3
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível. Agora, vamos calcular a matriz de cofatores. Cada elemento dessa matriz é dado por , onde é a matriz que fica removendo a i-ésima linha e j-ésima coluna de .
Vamos calcular cada cofator:
Para :
Para :
Para :
Continuando para a segunda linha:
Para :
Para :
Para :
E na terceira linha:
Para :
Para :
Para :
Assim, a matriz de cofatores fica:
Passo 4
Agora vamos para a matriz adjunta, que é a transposta da matriz de cofatores. Transpor significa trocar as linhas pelas colunas.
Passo 5
Com a adjunta e o determinante em mãos, podemos achar a inversa usando a fórmula: