Usando a fórmula geral em termos dos cofatores, encontre a matriz inversa da matriz A=(ccc1 & 3 & 1 2 & 1 & 4 5 & 4 & 3).
( Sol : A^-1=(ccc -1332 & -532 & 1132 716 & -116 & -116 332 & 1132 & -532 ) )

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício tá pedindo. A gente precisa achar a matriz inversa da matriz 1 & 3 & 1 2 & 1 & 4 5 & 4 & 3 usando a fórmula geral em termos de cofatores. Pra isso, vamos precisar calcular o determinante de , a matriz de cofatores e a adjunta da matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante de det(A) = 1 cdot det1 & 4 4 & 3 - 3 cdot det2 & 4 5 & 3 + 1 cdot det2 & 1 5 & 4 , que é essencial pra saber se a matriz é invertível (ou seja, se o determinante é diferente de zero). Para uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vou usar a expansão pela primeira linha:
det1 & 4 4 & 3 = (1)(3) - (4)(4) = 3 - 16 = -13
Calculando os menores:
det2 & 4 5 & 3 = (2)(3) - (4)(5) = 6 - 20 = -14
det2 & 1 5 & 4 = (2)(4) - (1)(5) = 8 - 5 = 3
det(A) = 1 cdot (-13) - 3 cdot (-14) + 1 cdot 3 = -13 + 42 + 3 = 32
Então,

Passo 3

Como o determinante M11 = 1 & 4 4 & 3, det(M11) = -13 é diferente de zero, a matriz C11 = (-1)^1+1 cdot (-13) = -13 é invertível. Agora, vamos calcular a matriz de cofatores. Cada elemento dessa matriz é dado por M12 = 2 & 4 5 & 3, det(M12) = -14 , onde C12 = (-1)^1+2 cdot (-14) = 14 é a matriz que fica removendo a i-ésima linha e j-ésima coluna de M13 = 2 & 1 5 & 4, det(M13) = 3 .
Vamos calcular cada cofator:
Para C13 = (-1)^1+3 cdot 3 = 3 :
M21 = 3 & 1 4 & 3, det(M21) = 5
C21 = (-1)^2+1 cdot 5 = -5
Para M22 = 1 & 1 5 & 3, det(M22) = -2 :
C22 = (-1)^2+2 cdot (-2) = -2
M23 = 1 & 3 5 & 4, det(M23) = -11
Para C23 = (-1)^2+3 cdot (-11) = 11 :
M31 = 3 & 1 1 & 4, det(M31) = 11
C31 = (-1)^3+1 cdot 11 = 11
Continuando para a segunda linha:
Para M32 = 1 & 1 2 & 4, det(M32) = 2 :
C32 = (-1)^3+2 cdot 2 = -2
M33 = 1 & 3 2 & 1, det(M33) = -5
Para C33 = (-1)^3+3 cdot (-5) = -5 :
Cof(A) = -13 & 14 & 3 -5 & -2 & 11 11 & -2 & -5
Para :
E na terceira linha:
Para :
Para :
Para :
Assim, a matriz de cofatores fica:

Passo 4

Agora vamos para a matriz adjunta, que é a transposta da matriz de cofatores. Transpor significa trocar as linhas pelas colunas.
Adj(A) = -13 & -5 & 11 14 & -2 & -2 3 & 11 & -5

Passo 5

Com a adjunta e o determinante em mãos, podemos achar a inversa usando a fórmula:
A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A)
Substituindo os valores que calculamos:
A^-1 = 132 cdot -13 & -5 & 11 14 & -2 & -2 3 & 11 & -5 = -1332 & -532 & 1132 716 & -116 & -116 332 & 1132 & -532

Resposta

A^-1 = -1332 & -532 & 1132 716 & -116 & -116 332 & 1132 & -532

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