Usando a fórmula geral em termos dos cofatores, encontre a matriz inversa da matriz .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício tá pedindo. A gente precisa achar a matriz inversa da matriz usando a fórmula geral em termos de cofatores. Pra isso, vamos precisar calcular o determinante de , a matriz de cofatores e a adjunta da matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante de , que é essencial pra saber se a matriz é invertível (ou seja, se o determinante é diferente de zero). Para uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por menores. Vou usar a expansão pela primeira linha:
Calculando os menores:
Então,

Passo 3

Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível. Agora, vamos calcular a matriz de cofatores. Cada elemento dessa matriz é dado por , onde é a matriz que fica removendo a i-ésima linha e j-ésima coluna de .
Vamos calcular cada cofator:
Para :
Para :
Para :
Continuando para a segunda linha:
Para :
Para :
Para :
E na terceira linha:
Para :
Para :
Para :
Assim, a matriz de cofatores fica:

Passo 4

Agora vamos para a matriz adjunta, que é a transposta da matriz de cofatores. Transpor significa trocar as linhas pelas colunas.

Passo 5

Com a adjunta e o determinante em mãos, podemos achar a inversa usando a fórmula:
Substituindo os valores que calculamos:

Resposta

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