Determinar equações do plano que
© Passa pelo ponto
e é perpendicular à reta
:
.
© Passa pelo ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto
e que é perpendicular à reta
dada por
. Aqui, estamos trabalhando com geometria espacial, especificamente com planos e retas no espaço tridimensional. Para achar a equação do plano, vamos precisar de um ponto que está no plano (que já temos, o
) e de um vetor normal ao plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o plano ser perpendicular à reta
. Se o plano é perpendicular à reta, isso quer dizer que o vetor diretor da reta é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. Em outras palavras, o vetor diretor da reta é o vetor normal do plano. Isso é super útil porque nos dá diretamente o vetor normal que precisamos para a equação do plano.
Passo 3
Agora, vamos identificar o vetor diretor da reta
. A equação dada da reta é
, onde
é um parâmetro real. O vetor que acompanha o
é o vetor diretor da reta, que nesse caso é
. Então, o vetor normal ao plano será esse mesmo,
.
Passo 4
Com o vetor normal
e o ponto
no plano, podemos usar a equação geral do plano na forma do produto escalar. A fórmula é:
Onde
é um ponto qualquer no plano,
é o ponto dado, e
é o vetor normal.
Passo 5
Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Primeiro, calculamos
. Agora, fazemos o produto escalar com
:
Simplificando isso:
Continuando a simplificar:
E finalmente:
Resposta
A equação do plano é
.