Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e que é perpendicular à reta dada por . Aqui, estamos trabalhando com geometria espacial, especificamente com planos e retas no espaço tridimensional. Para achar a equação do plano, vamos precisar de um ponto que está no plano (que já temos, o ) e de um vetor normal ao plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o plano ser perpendicular à reta . Se o plano é perpendicular à reta, isso quer dizer que o vetor diretor da reta é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. Em outras palavras, o vetor diretor da reta é o vetor normal do plano. Isso é super útil porque nos dá diretamente o vetor normal que precisamos para a equação do plano.
Passo 3
Agora, vamos identificar o vetor diretor da reta . A equação dada da reta é , onde é um parâmetro real. O vetor que acompanha o é o vetor diretor da reta, que nesse caso é . Então, o vetor normal ao plano será esse mesmo, .
Passo 4
Com o vetor normal e o ponto no plano, podemos usar a equação geral do plano na forma do produto escalar. A fórmula é:
Onde é um ponto qualquer no plano, é o ponto dado, e é o vetor normal.
Passo 5
Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Primeiro, calculamos . Agora, fazemos o produto escalar com :