Determinar equações do plano que
© Passa pelo ponto P=(0,1,0) e é perpendicular à reta r : (4,1,0)+t(1,-3,5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e que é perpendicular à reta dada por . Aqui, estamos trabalhando com geometria espacial, especificamente com planos e retas no espaço tridimensional. Para achar a equação do plano, vamos precisar de um ponto que está no plano (que já temos, o ) e de um vetor normal ao plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o plano ser perpendicular à reta . Se o plano é perpendicular à reta, isso quer dizer que o vetor diretor da reta é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. Em outras palavras, o vetor diretor da reta é o vetor normal do plano. Isso é super útil porque nos dá diretamente o vetor normal que precisamos para a equação do plano.

Passo 3

Agora, vamos identificar o vetor diretor da reta . A equação dada da reta é , onde é um parâmetro real. O vetor que acompanha o é o vetor diretor da reta, que nesse caso é . Então, o vetor normal ao plano será esse mesmo, .

Passo 4

Com o vetor normal n cdot (X - P) = 0 e o ponto no plano, podemos usar a equação geral do plano na forma do produto escalar. A fórmula é:
Onde é um ponto qualquer no plano, é o ponto dado, e é o vetor normal.

Passo 5

Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Primeiro, calculamos (1, -3, 5) cdot (x, y - 1, z) = 1 cdot x + (-3) cdot (y - 1) + 5 cdot z = 0 . Agora, fazemos o produto escalar com x - 3(y - 1) + 5z = 0 :
x - 3y + 3 + 5z = 0
Simplificando isso:
x - 3y + 5z = -3
Continuando a simplificar:
E finalmente:

Resposta

A equação do plano é .

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