(Só para Civil, Elétrica e Ambiental) Seja X uma variável uniformemente distribuída no intervalo [alpha, beta]. Mostre que
E(X)=alpha+beta2 e Var(X)=(beta-alpha)^212

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma variável aleatória que segue uma distribuição uniforme no intervalo . Nosso objetivo é encontrar a média e a variância dessa distribuição. Para isso, vamos usar conceitos de estatística básica sobre distribuição uniforme.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição uniforme. Uma variável aleatória uniforme tem a mesma probabilidade de assumir qualquer valor dentro do intervalo . Isso significa que a função densidade de probabilidade é constante nesse intervalo.

Passo 3

Para encontrar a média E(X) = alpha + beta2 , usamos a fórmula da média para a distribuição uniforme:
Isso acontece porque, em uma distribuição uniforme, o ponto médio do intervalo é o valor esperado da variável.

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância Var(X) = (beta - alpha)^212 . A variância mede o quanto os valores de se espalham em torno da média. Para a distribuição uniforme, a fórmula da variância é:
Essa fórmula resulta da integração da função de densidade ao quadrado, levando em conta o intervalo .

Resposta

Portanto, para uma variável uniforme E(X) = alpha + beta2 e Var(X) = (beta - alpha)^212 no intervalo , temos:

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