(Só para Civil, Elétrica e Ambiental) Seja X uma variável uniformemente distribuída no intervalo
. Mostre que
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma variável aleatória
que segue uma distribuição uniforme no intervalo
. Nosso objetivo é encontrar a média
e a variância
dessa distribuição. Para isso, vamos usar conceitos de estatística básica sobre distribuição uniforme.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição uniforme. Uma variável aleatória uniforme tem a mesma probabilidade de assumir qualquer valor dentro do intervalo
. Isso significa que a função densidade de probabilidade é constante nesse intervalo.
Passo 3
Para encontrar a média
, usamos a fórmula da média para a distribuição uniforme:
Isso acontece porque, em uma distribuição uniforme, o ponto médio do intervalo é o valor esperado da variável.
Passo 4
Agora, vamos calcular a variância
. A variância mede o quanto os valores de
se espalham em torno da média. Para a distribuição uniforme, a fórmula da variância é:
Essa fórmula resulta da integração da função de densidade ao quadrado, levando em conta o intervalo
.
Resposta
Portanto, para uma variável uniforme
no intervalo
, temos: