Seja a v.a X com função de densidade de probabilidade dada por
f(x)=l 32 x^2, se -1 <= x <= 1 0, caso contrário á
b) Encontre a distribuição acumulada da v.a X;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente encontre a função de distribuição acumulada (F(x)) da variável aleatória X, que já tem a função de densidade de probabilidade (f(x)) dada. Para resolver isso, a gente precisa entender que a função de distribuição acumulada é basicamente a probabilidade de X ser menor ou igual a um certo valor x. E para achar isso, a gente vai precisar integrar a função de densidade f(x).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de distribuição acumulada F(x) é definida como:
F(x) = P(X <= x) = integral-infty^x f(t) , dt
No nosso caso, a função f(x) é diferente de zero somente no intervalo de -1 a 1. Então, a gente vai ter que considerar diferentes casos para calcular essa integral dependendo do valor de x.

Passo 3

Caso 1: Quando x é menor que -1 (-∞ < x < -1)
Aqui, como a função f(x) é zero para valores menores que -1, a integral de -∞ até x também será zero. Ou seja:
F(x) = 0 para x < -1

Passo 4

Caso 2: Quando x está entre -1 e 1 (-1 \leq x \leq 1)
Nesse intervalo, a função f(x) é F(x) = integral-1^x 32 t^2 , dt . Então, vamos calcular a integral de -1 até x:
F(x) = [ t^32 ]-1^x = x^32 - (-1)^32 = x^32 + 12 = x^3 + 12
Vamos resolver essa integral:
  1. A antiderivada de F(x) = x^3 + 12 é .
  2. Avaliando de -1 até x:
Então, para -1 \leq x \leq 1, temos:

Passo 5

Caso 3: Quando x é maior que 1 (x > 1)
Para valores de x maiores que 1, toda a área sob a função de densidade já foi acumulada, então a função de distribuição acumulada F(x) será igual a 1:
F(x) = 1 para x > 1

Resposta

A função de distribuição acumulada F(x) da variável aleatória X é dada por:
F(x) = 0, & se x < -1 dfracx^3 + 12, & se -1 <= x <= 1 1, & se x > 1

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