Seja a v.a
com função de densidade de probabilidade dada por
b) Encontre a distribuição acumulada da v.a
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente encontre a função de distribuição acumulada (F(x)) da variável aleatória X, que já tem a função de densidade de probabilidade (f(x)) dada. Para resolver isso, a gente precisa entender que a função de distribuição acumulada é basicamente a probabilidade de X ser menor ou igual a um certo valor x. E para achar isso, a gente vai precisar integrar a função de densidade f(x).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função de distribuição acumulada F(x) é definida como:
No nosso caso, a função f(x) é diferente de zero somente no intervalo de -1 a 1. Então, a gente vai ter que considerar diferentes casos para calcular essa integral dependendo do valor de x.
Passo 3
Caso 1: Quando x é menor que -1 (-∞ < x < -1)
Aqui, como a função f(x) é zero para valores menores que -1, a integral de -∞ até x também será zero. Ou seja:
Passo 4
Caso 2: Quando x está entre -1 e 1 (-1 \leq x \leq 1)
Nesse intervalo, a função f(x) é
. Então, vamos calcular a integral de -1 até x:
Vamos resolver essa integral:
-
A antiderivada de
é . -
Avaliando de -1 até x:
Então, para -1 \leq x \leq 1, temos:
Passo 5
Caso 3: Quando x é maior que 1 (x > 1)
Para valores de x maiores que 1, toda a área sob a função de densidade já foi acumulada, então a função de distribuição acumulada F(x) será igual a 1:
Resposta
A função de distribuição acumulada F(x) da variável aleatória X é dada por: