Seja a v.a
com função de densidade de probabilidade dada por
e) Encontre o valor
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória
com uma função de densidade de probabilidade definida por:
O nosso objetivo aqui é encontrar o valor
tal que a função de distribuição acumulada
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função de distribuição acumulada
. Ela representa a probabilidade de a variável aleatória
ser menor ou igual a um certo valor
. Matematicamente, é dada pela integral da função de densidade de
até
:
No nosso caso, como
para
e
, podemos ajustar os limites da integral.
Passo 3
Vamos calcular
para
no intervalo de
a
:
Vamos resolver essa integral para encontrar uma expressão geral de
.
Passo 4
Integrando
:
Então, a função de distribuição acumulada é:
Passo 5
Agora, queremos encontrar
tal que
. Vamos igualar a expressão de
a 0,95 e resolver para
:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados da equação por 2 para simplificar:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Passo 7
Para encontrar
, tiramos a raiz cúbica de 0,9:
Calculando:
Resposta
O valor de
tal que
é aproximadamente
.