Seja a v.a X com função de densidade de probabilidade dada por
f(x)=l 32 x^2, se -1 <= x <= 1 0, caso contrário á
e) Encontre o valor x0 tal que F(x0)=0,95.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória f(x) = 32 x^2, & se -1 <= x <= 1 0, & caso contrário com uma função de densidade de probabilidade definida por:
á
O nosso objetivo aqui é encontrar o valor tal que a função de distribuição acumulada . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função de distribuição acumulada F(x) = integral-infty^x f(t) , dt . Ela representa a probabilidade de a variável aleatória ser menor ou igual a um certo valor . Matematicamente, é dada pela integral da função de densidade de até :
No nosso caso, como para e , podemos ajustar os limites da integral.

Passo 3

Vamos calcular F(x) = integral-1^x 32 t^2 , dt para no intervalo de a :
Vamos resolver essa integral para encontrar uma expressão geral de .

Passo 4

Integrando F(x) = 32 integral-1^x t^2 , dt = 32 [ t^33 ]-1^x = 32 ( x^33 - (-1)^33 ) = 32 ( x^3 + 13 ) = x^3 + 12 :
F(x) = x^3 + 12
Então, a função de distribuição acumulada é:

Passo 5

Agora, queremos encontrar x^3 + 12 = 0,95 tal que . Vamos igualar a expressão de a 0,95 e resolver para :

Passo 6

Multiplicando ambos os lados da equação por 2 para simplificar:
x^3 + 1 = 1,9
Subtraindo 1 de ambos os lados:
x^3 = 0,9

Passo 7

Para encontrar x = raiz[3]0,9 , tiramos a raiz cúbica de 0,9:
x approx 0,964
Calculando:

Resposta

O valor de tal que é aproximadamente .

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