Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
g) G=(ll1 & 1 2 & 3),(rr6 & 0 -1 & 4),(ll3 & 0 1 & 7),(ll5 & 1 4 & 2),(ll7 & 1 2 & 9).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa classificar o conjunto de matrizes como Linearmente Independentes (L.I.) ou Linearmente Dependentes (L.D.). Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, principalmente sobre independência linear. Vamos precisar entender como verificar se um conjunto de vetores (ou matrizes, nesse caso) é independente ou dependente, e aplicar isso às matrizes que foram dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar cada uma dessas matrizes em vetores. Isso facilita nossa análise porque, na verdade, estamos trabalhando no espaço vetorial. Cada matriz A1 = 1 & 1 2 & 3 v1 = (1, 1, 2, 3) pode ser representada por um vetor de 4 dimensões. Vamos fazer isso:
A2 = 6 & 0 -1 & 4 v2 = (6, 0, -1, 4)
A3 = 3 & 0 1 & 7 v3 = (3, 0, 1, 7)
A4 = 5 & 1 4 & 2 v4 = (5, 1, 4, 2)
A5 = 7 & 1 2 & 9 v5 = (7, 1, 2, 9)

Passo 3

Agora que temos os vetores, vamos lembrar que no espaço vetorial de 4 dimensões ( ), o máximo de vetores que podem ser linearmente independentes é 4. Como temos 5 vetores, já podemos suspeitar que eles são linearmente dependentes. Mas vamos verificar isso mais a fundo.

Passo 4

Para confirmar, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e verificar o posto dessa matriz. Se o posto for menor que o número de vetores, significa que há dependência linear.
M = 1 & 6 & 3 & 5 & 7 1 & 0 & 0 & 1 & 1 2 & -1 & 1 & 4 & 2 3 & 4 & 7 & 2 & 9
Calculando o posto desta matriz, podemos observar que ele será no máximo 4 (o que é igual à dimensão do espaço). Mas como temos 5 vetores, o quinto vetor não adiciona uma nova dimensão, ou seja, ele pode ser escrito como combinação linear dos anteriores.

Passo 5

Portanto, há uma combinação linear não trivial dessas matrizes que resulta na matriz zero. Isso confirma que o conjunto é Linearmente Dependente (L.D.).

Resposta

O conjunto é Linearmente Dependente (L.D.).

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