Mostre que os únicos subgrupos de
são os subgrupos
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é a questão. A gente precisa mostrar que os únicos subgrupos de
são os subgrupos da forma
, onde
é um número natural. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um grupo, o que é um subgrupo, e como os múltiplos de um número natural formam esses subgrupos em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é o grupo dos números inteiros com a operação de adição. Um subgrupo é um subconjunto que também é um grupo com a mesma operação. Então, qualquer subgrupo de
precisa ser fechado sob adição e conter o inverso de cada elemento.
Passo 3
Agora, vamos pensar nos conjuntos
, que são todos os múltiplos de um número natural
. Por exemplo, se
, então
. Queremos mostrar que qualquer subgrupo de
é desse tipo.
Passo 4
Vamos assumir que
é um subgrupo de
. Como
é um subgrupo, ele deve conter o elemento neutro, que é 0, e ser fechado sob adição e inversos. Se
contém apenas 0, então ele é
. Se contém outros elementos, vamos considerar o menor número positivo que está em
. Vamos chamar esse menor número de
.
Passo 5
Agora, queremos mostrar que
. Primeiro, todo múltiplo de
está em
, porque
é fechado sob adição. Ou seja,
estão todos em
. Além disso, qualquer elemento de
pode ser escrito como um múltiplo de
, já que
é o menor positivo em
.
Passo 6
Portanto, concluímos que qualquer subgrupo
de
é de fato
para algum
. Assim, os únicos subgrupos de
são os subgrupos
, onde
é um número natural.
Resposta
Os únicos subgrupos de
são os subgrupos
, onde
.
Exercícios relacionados
Determine todos os elementos
tais que
Prove que todo grupo cíclico é abeliano.
Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
b) .
b)
Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
g) .
g)