Mostre que os únicos subgrupos de (Z,+) são os subgrupos (m Z,+), onde m in N.

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a questão. A gente precisa mostrar que os únicos subgrupos de (Z, +) são os subgrupos da forma mZ, onde m é um número natural. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um grupo, o que é um subgrupo, e como os múltiplos de um número natural formam esses subgrupos em Z.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que (Z, +) é o grupo dos números inteiros com a operação de adição. Um subgrupo é um subconjunto que também é um grupo com a mesma operação. Então, qualquer subgrupo de Z precisa ser fechado sob adição e conter o inverso de cada elemento.

Passo 3

Agora, vamos pensar nos conjuntos mZ, que são todos os múltiplos de um número natural m. Por exemplo, se m = 2, então 2Z = , -4, -2, 0, 2, 4, . Queremos mostrar que qualquer subgrupo de Z é desse tipo.

Passo 4

Vamos assumir que H é um subgrupo de Z. Como H é um subgrupo, ele deve conter o elemento neutro, que é 0, e ser fechado sob adição e inversos. Se H contém apenas 0, então ele é 0Z. Se contém outros elementos, vamos considerar o menor número positivo que está em H. Vamos chamar esse menor número de m.

Passo 5

Agora, queremos mostrar que H = mZ. Primeiro, todo múltiplo de m está em H, porque H é fechado sob adição. Ou seja, m, 2m, 3m, estão todos em H. Além disso, qualquer elemento de H pode ser escrito como um múltiplo de m, já que m é o menor positivo em H.

Passo 6

Portanto, concluímos que qualquer subgrupo H de Z é de fato mZ para algum m in N. Assim, os únicos subgrupos de (Z, +) são os subgrupos mZ, onde m é um número natural.

Resposta

Os únicos subgrupos de (Z, +) são os subgrupos mZ, onde m in N.

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