Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
k) K=-2 x+1,-x^3+x^2, 2 x^3+x^2+1,3 x^3+2 x+3 em P3(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente classificar um conjunto de polinômios como linearmente independente (L.I.) ou dependente (L.D.) no espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 3 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa linearmente independente e como verificar isso usando equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é linearmente independente. Um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes dessa combinação são zero. Ou seja, se somente ocorre quando .

Passo 3

Vamos escrever o conjunto K = -2x + 1, -x^3 + x^2, 2x^3 + x^2 + 1, 3x^3 + 2x + 3 que temos:
Queremos saber se existe uma combinação linear desses polinômios que dê o polinômio zero, sem que todos os coeficientes sejam zero.

Passo 4

Vamos montar a equação da combinação linear igual a zero:
c1(-2x + 1) + c2(-x^3 + x^2) + c3(2x^3 + x^2 + 1) + c4(3x^3 + 2x + 3) = 0
Nosso objetivo é ver se além da solução trivial ( ), existem outras soluções para os coeficientes .

Passo 5

Vamos distribuir e agrupar os termos semelhantes na equação:
(-2c1)x + c1 + (-c2 + 2c3 + 3c4)x^3 + (c2 + c3)x^2 + (2c4)x + 3c4 = 0
Simplificando:
( -c2 + 2c3 + 3c4 )x^3 + ( c2 + c3 )x^2 + ( -2c1 + 2c4 )x + ( c1 + 3c4 ) = 0

Passo 6

Para que a combinação seja igual a zero, cada coeficiente de -c2 + 2c3 + 3c4 = 0 c2 + c3 = 0 -2c1 + 2c4 = 0 c1 + 3c4 = 0 e o termo constante devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 7

Vamos resolver o sistema passo a passo. Da segunda equação:
c2 + c3 = 0 Rightarrow c2 = -c3
Substituindo -(-c3) + 2c3 + 3c4 = 0 Rightarrow c3 + 2c3 + 3c4 = 0 Rightarrow 3c3 + 3c4 = 0 Rightarrow c3 = -c4 na primeira equação:
-2c1 + 2c4 = 0 Rightarrow -2c1 = -2c4 Rightarrow c1 = c4
Da terceira equação:
c1 + 3c4 = 0 Rightarrow c4 + 3c4 = 0 Rightarrow 4c4 = 0 Rightarrow c4 = 0
Da quarta equação:

Passo 8

Agora que sabemos que c1 = c4 = 0 , podemos encontrar os outros coeficientes:
c3 = -c4 = 0
c2 = -c3 = 0

Resposta

Como a única solução possível é , o conjunto é linearmente independente (L.I.).

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