Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.
k) em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente classificar um conjunto de polinômios como linearmente independente (L.I.) ou dependente (L.D.) no espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 3 com coeficientes reais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa linearmente independente e como verificar isso usando equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é linearmente independente. Um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes dessa combinação são zero. Ou seja, se somente ocorre quando .
Passo 3
Vamos escrever o conjunto que temos:
Queremos saber se existe uma combinação linear desses polinômios que dê o polinômio zero, sem que todos os coeficientes sejam zero.
Passo 4
Vamos montar a equação da combinação linear igual a zero:
Nosso objetivo é ver se além da solução trivial (), existem outras soluções para os coeficientes .
Passo 5
Vamos distribuir e agrupar os termos semelhantes na equação:
Simplificando:
Passo 6
Para que a combinação seja igual a zero, cada coeficiente de e o termo constante devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 7
Vamos resolver o sistema passo a passo. Da segunda equação: