Classifique as EDPs a seguir como hiperbólica, parabólica ou elíptica:
k partial^2 upartial x^2=partial upartial t, k>0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para classificar uma equação diferencial parcial (EDP) como hiperbólica, parabólica ou elíptica. A equação é:
k partial^2 upartial x^2 = partial upartial t, k > 0
Vamos usar conhecimentos de classificação de EDPs e analisar quais características definem cada tipo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as EDPs de segunda ordem podem ser classificadas com base nos coeficientes das derivadas de segunda ordem. A classificação depende do discriminante dado por:
D = B^2 - A C
Onde:
  • é o coeficiente de
  • é o coeficiente de (que aqui não existe, então )
  • é o coeficiente de (também não existe, então )

Passo 3

Na nossa equação, ela pode ser reescrita como:
k uxx - ut = 0
Comparando com a forma geral, temos:
  • D = 0^2 - (k)(0) = 0
Então, o discriminante fica:

Passo 4

A classificação depende do valor de :
  • Se , a EDP é hiperbólica
  • Se , a EDP é parabólica
  • Se , a EDP é elíptica
No nosso caso, , então a equação é parabólica.

Resposta

A equação dada é parabólica.

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