Classifique as funções abaixo quanto à sua concavidade:
a)
(estritamente convexa)
b)
(estritamente convexa)
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas funções e precisamos classificar cada uma delas quanto à sua concavidade. A matéria que vamos usar aqui é de cálculo multivariável, especificamente sobre funções convexas. Para resolver isso, vamos precisar calcular a matriz Hessiana de cada função e analisar se ela é definida positiva, o que indica que a função é estritamente convexa.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função a):
Essa é uma função que depende de duas variáveis,
e
.
Passo 3
Para verificar a convexidade, precisamos calcular a matriz Hessiana de
. A Hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais. Vamos calcular cada derivada:
Primeiro, expandindo a função:
Agora, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
Então, a matriz Hessiana é:
Passo 4
Agora, precisamos verificar se essa matriz Hessiana é definida positiva. Para isso, vamos calcular seus determinantes principais:
- O primeiro determinante principal é o elemento
, que é maior que zero. - O determinante da matriz completa:
Como todos os determinantes principais são positivos, a matriz Hessiana é definida positiva.
Passo 5
Como a Hessiana é definida positiva, concluímos que a função a) é estritamente convexa. Isso significa que seu gráfico tem uma “forma de taça” e não possui pontos de máximo local.
Passo 6
Agora, vamos para a função b):
Essa é uma função que depende de três variáveis,
,
e
.
Passo 7
Vamos calcular a matriz Hessiana de
. Como a função é uma soma de quadrados, as derivadas parciais são simples:
E as derivadas cruzadas são:
Então, a matriz Hessiana é diagonal:
Passo 8
Verificamos se a Hessiana é definida positiva. Como todos os elementos na diagonal são 2 (positivos) e não há elementos cruzados, a Hessiana é claramente definida positiva.
Resposta
a) A função é estritamente convexa.
b) A função é estritamente convexa.