Classifique as funções abaixo quanto à sua concavidade:
a) f(x)=(x1-x2)^2+x2^2 (estritamente convexa)
b) f(x)=x1^2+x2^2+x3^2 (estritamente convexa)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos duas funções e precisamos classificar cada uma delas quanto à sua concavidade. A matéria que vamos usar aqui é de cálculo multivariável, especificamente sobre funções convexas. Para resolver isso, vamos precisar calcular a matriz Hessiana de cada função e analisar se ela é definida positiva, o que indica que a função é estritamente convexa.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função a):
f(x) = (x1 - x2)^2 + x2^2
Essa é uma função que depende de duas variáveis, e .

Passo 3

Para verificar a convexidade, precisamos calcular a matriz Hessiana de f(x) = (x1 - x2)^2 + x2^2 = x1^2 - 2x1x2 + x2^2 + x2^2 = x1^2 - 2x1x2 + 2x2^2 . A Hessiana é a matriz das segundas derivadas parciais. Vamos calcular cada derivada:
Primeiro, expandindo a função:
partial^2 fpartial x1^2 &= 2 partial^2 fpartial x1 partial x2 &= -2 partial^2 fpartial x2^2 &= 4
Agora, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
H = 2 & -2 -2 & 4
Então, a matriz Hessiana é:

Passo 4

Agora, precisamos verificar se essa matriz Hessiana é definida positiva. Para isso, vamos calcular seus determinantes principais:
  1. O primeiro determinante principal é o elemento det(H) = (2)(4) - (-2)(-2) = 8 - 4 = 4 > 0 , que é maior que zero.
  2. O determinante da matriz completa:
Como todos os determinantes principais são positivos, a matriz Hessiana é definida positiva.

Passo 5

Como a Hessiana é definida positiva, concluímos que a função a) é estritamente convexa. Isso significa que seu gráfico tem uma “forma de taça” e não possui pontos de máximo local.

Passo 6

Agora, vamos para a função b):
f(x) = x1^2 + x2^2 + x3^2
Essa é uma função que depende de três variáveis, , e .

Passo 7

Vamos calcular a matriz Hessiana de partial^2 fpartial xi^2 = 2 para i = 1, 2, 3 . Como a função é uma soma de quadrados, as derivadas parciais são simples:
partial^2 fpartial xi partial xj = 0 para i neq j
E as derivadas cruzadas são:
H = 2 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2
Então, a matriz Hessiana é diagonal:

Passo 8

Verificamos se a Hessiana é definida positiva. Como todos os elementos na diagonal são 2 (positivos) e não há elementos cruzados, a Hessiana é claramente definida positiva.

Resposta

a) A função é estritamente convexa.
b) A função é estritamente convexa.

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