Considere que você é um produtor de PCl3, vendido em barris a uma taxa de P barris por dia. O custo de produção de cada barril é dado pela relação abaixo:
C=50+0,1 P+9.000P em reais/barril
Por exemplo, para P=100 barris/dia, C=R barril. O preço de venda de cada barril é igual a R barril O preço de venda de cada barril é igual a R . Determine:
a) A produção (em números de barris) para a qual o custo de cada barril é mínimo (P = 300 barris/dia);
b) A produção que maximiza o lucro por dia ( 300,00 barris/dia);
c) Por que as respostas obtidas nos itens anteriores são diferentes?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Você é um produtor de PCl3 e quer descobrir duas coisas:
a) Qual a quantidade de produção (P barris por dia) que faz o custo por barril ser o menor possível.
b) Qual a quantidade de produção que maximiza o lucro por dia.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de custos e maximização de lucro. Vamos abordar cada parte passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de custo que foi dada:
C = 50 + 0,1 P + 9.000P em reais por barril
Aqui, C representa o custo por barril de produção, e P é a quantidade de barris produzidos por dia. Nosso objetivo no item a) é encontrar o valor de P que minimiza esse custo.

Passo 3

Para encontrar o valor de P que minimiza o custo C, vamos utilizar o cálculo diferencial. Precisamos encontrar a derivada de C em relação a P e igualá-la a zero para encontrar os pontos críticos.
Vamos calcular a derivada de C:
dCdP = 0,1 - 9.000P^2

Passo 4

Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar o valor de P que minimiza o custo:
0,1 - 9.000P^2 = 0
Resolvendo a equação:
0,1 = 9.000P^2
Multiplicando ambos os lados por P^2:
0,1 P^2 = 9.000

Passo 5

Agora, vamos isolar P^2:
P^2 = 9.0000,1 = 90.000
Para encontrar P, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
P = raiz90.000 approx 300

Resposta

a) A produção que minimiza o custo por barril é de P = 300 barris por dia.

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