Considere que você é um produtor de
, vendido em barris a uma taxa de P barris por dia. O custo de produção de cada barril é dado pela relação abaixo:
Por exemplo, para
barris/dia,
barril. O preço de venda de cada barril é igual a R
. Determine:
a) A produção (em números de barris) para a qual o custo de cada barril é mínimo (P = 300 barris/dia);
b) A produção que maximiza o lucro por dia (
barris/dia);
c) Por que as respostas obtidas nos itens anteriores são diferentes?
a) A produção (em números de barris) para a qual o custo de cada barril é mínimo (P = 300 barris/dia);
b) A produção que maximiza o lucro por dia (
c) Por que as respostas obtidas nos itens anteriores são diferentes?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Você é um produtor de
e quer descobrir duas coisas:
a) Qual a quantidade de produção (P barris por dia) que faz o custo por barril ser o menor possível.
b) Qual a quantidade de produção que maximiza o lucro por dia.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de custos e maximização de lucro. Vamos abordar cada parte passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função de custo que foi dada:
Aqui,
representa o custo por barril de produção, e
é a quantidade de barris produzidos por dia. Nosso objetivo no item a) é encontrar o valor de
que minimiza esse custo.
Passo 3
Para encontrar o valor de
que minimiza o custo
, vamos utilizar o cálculo diferencial. Precisamos encontrar a derivada de
em relação a
e igualá-la a zero para encontrar os pontos críticos.
Vamos calcular a derivada de
:
Passo 4
Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar o valor de
que minimiza o custo:
Resolvendo a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, vamos isolar
:
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
a) A produção que minimiza o custo por barril é de
barris por dia.