Encontre a solução da equação diferencial
partial^2 x(t)partial t^2+2 partial x(t)partial t+5 x(t)=3(t), x(0)=0, partial x(t)partial t=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá a seguinte equação:
d^2 x(t)dt^2 + 2 dx(t)dt + 5 x(t) = 3t
Com as condições iniciais:
x(0) = 0, dx(t)dt|t=0 = 0
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e um termo não homogêneo 3t. Para resolver, vamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
d^2 x(t)dt^2 + 2 dx(t)dt + 5 x(t) = 0
Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma x(t) = e^rt, onde r é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação:
r^2 e^rt + 2 r e^rt + 5 e^rt = 0 e^rt (r^2 + 2r + 5) = 0
Como e^rt neq 0, temos que:
r^2 + 2r + 5 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
r^2 + 2r + 5 = 0
Usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a=1, b=2, c=5. Calculando o discriminante:
De
Como o discriminante é negativo, teremos raízes complexas:
r = -2 pm raiz-162 = -2 pm 4i2 = -1 pm 2i

Passo 4

Com as raízes r = -1 pm 2i, a solução geral da equação homogênea é:
xh(t) = e^-t ( C1 cos(2t) + C2 sin(2t) )
Onde C1 e C2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais depois.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( xp(t)) para a equação completa:
d^2 x(t)dt^2 + 2 dx(t)dt + 5 x(t) = 3t
Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau ( 3t), vamos supor uma solução particular da forma:
xp(t) = At + B
Onde A e B são constantes a serem encontradas.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de xp(t):
dxp(t)dt = A d^2xp(t)dt^2 = 0
Substituindo xp(t) e suas derivadas na equação completa:
0 + 2A + 5(At + B) = 3t 0 + 2A + 5At + 5B = 3t
Agrupando os termos semelhantes:
(5A)t + (2A + 5B) = 3t + 0

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para os termos com t:
5A = 3 Rightarrow A = 35
Para os termos constantes:
2A + 5B = 0 2(35) + 5B = 0 65 + 5B = 0 5B = -65 B = -625

Passo 8

Com os valores de A e B encontrados, a solução particular é:
xp(t) = 35 t - 625

Passo 9

Agora, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
x(t) = xh(t) + xp(t) = e^-t ( C1 cos(2t) + C2 sin(2t) ) + 35 t - 625

Passo 10

Aplicamos as condições iniciais para encontrar C1 e C2.
Primeiro, para t=0:
x(0) = e^0 ( C1 cos(0) + C2 sin(0) ) + 35 cdot 0 - 625 = C1 - 625 = 0 Rightarrow C1 = 625

Passo 11

Agora, calculamos a derivada de x(t):
dx(t)dt = e^-t ( -C1 cos(2t) - C2 sin(2t) ) + e^-t ( -2 C1 sin(2t) + 2 C2 cos(2t) ) + 35
Simplificando:
dx(t)dt = e^-t ( -C1 cos(2t) - C2 sin(2t) - 2 C1 sin(2t) + 2 C2 cos(2t) ) + 35
Para t=0:
dx(0)dt = ( -C1 cdot 1 - C2 cdot 0 - 2 C1 cdot 0 + 2 C2 cdot 1 ) + 35 = -C1 + 2 C2 + 35 = 0
Substituindo C1 = 625:
-625 + 2 C2 + 35 = 0 2 C2 = 625 - 1525 = -925 C2 = -950

Resposta

A solução da equação diferencial é:
x(t) = e^-t ( 625 cos(2t) - 950 sin(2t) ) + 35 t - 625

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