Classifique as funções abaixo quanto à sua modalidade. Classifique também cada ponto estacionário.
a)
(unimodal - máximo e sela)
b)
(multimodal - mínimo e máximo)
c)
(multimodal - dois mínimos e um máximo)
d)
(não tem extremos - sela)
e)
(unimodal - mínimo)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente classificar cinco funções diferentes quanto à sua modalidade (se são unimodais, multimodais, etc.) e também para identificar e classificar cada ponto estacionário que elas possuem. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especialmente derivadas, para encontrar onde as funções têm máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
a)
1. Encontrar a derivada primeira:
2. Encontrar os pontos estacionários (onde
):
Então,
ou
.
3. Calcular a derivada segunda para classificar os pontos:
4. Avaliar a derivada segunda nos pontos encontrados:
-
Para
: Como a derivada segunda é zero, precisamos analisar o comportamento da derivada primeira próximo a esse ponto. Observando os sinais da derivada antes e depois de 0, vemos que a função muda de crescente para decrescente, indicando um ponto de sela. -
Para
: Como a derivada segunda é negativa, temos um ponto de máximo nesse valor de.
5. Determinar a modalidade da função:
O termo de maior grau é , o que faz com que a função tenda a
quando
tende a
. Além disso, há apenas um ponto de máximo e um ponto de sela, então a função é unimodal.
O termo de maior grau é
Passo 3
b)
1. Encontrar a derivada primeira:
2. Encontrar os pontos estacionários:
Resolvendo :
Resolvendo
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos dois pontos estacionários:
e
.
3. Calcular a derivada segunda:
4. Avaliar a derivada segunda nos pontos estacionários:
-
Para
: Derivada segunda positiva indica um mínimo. -
Para
: Derivada segunda negativa indica um máximo.
5. Determinar a modalidade da função:
Como a função possui um mínimo e um máximo, ela é multimodal.
Como a função possui um mínimo e um máximo, ela é multimodal.
Passo 4
c)
1. Encontrar a derivada primeira:
2. Encontrar os pontos estacionários:
Então,
,
e
.
3. Calcular a derivada segunda:
4. Avaliar a derivada segunda nos pontos estacionários:
-
Para
: Derivada segunda negativa indica um máximo. -
Para
: Derivada segunda positiva indica um mínimo. -
Para
: Derivada segunda positiva indica um mínimo.
5. Determinar a modalidade da função:
Com dois mínimos e um máximo, a função é multimodal.
Com dois mínimos e um máximo, a função é multimodal.
Passo 5
d)
1. Encontrar as derivadas parciais:
2. Encontrar os pontos estacionários resolvendo
e
:
Resolvendo o sistema:
Multiplicando a segunda equação por 4:
Multiplicando a segunda equação por 4:
Adicionando com a primeira equação:
Então,
. Substituindo na primeira equação:
Portanto, o único ponto estacionário é
.
3. Calcular a matriz Hessiana:
4. Determinar o determinante da Hessiana:
Como o determinante é negativo, o ponto estacionário
é um ponto de sela.
5. Determinar a modalidade da função:
Como a função tem um ponto de sela e não possui máximos ou mínimos, ela não tem extremos e é considerada de natureza sela.
Como a função tem um ponto de sela e não possui máximos ou mínimos, ela não tem extremos e é considerada de natureza sela.
Passo 6
e)
1. Encontrar as derivadas parciais:
2. Encontrar os pontos estacionários resolvendo
e
:
Portanto, o único ponto estacionário é
.
3. Calcular a matriz Hessiana:
4. Determinar o determinante da Hessiana:
Como os elementos da diagonal principal são positivos, o ponto
é um mínimo.
5. Determinar a modalidade da função:
Como a função possui apenas um mínimo e a matriz Hessiana é positiva definida, a função é unimodal (tem um único ponto de mínimo).
Como a função possui apenas um mínimo e a matriz Hessiana é positiva definida, a função é unimodal (tem um único ponto de mínimo).
Resposta
a)
é uma função unimodal com um ponto de máximo em
e um ponto de sela em
.
b)
é uma função multimodal com um mínimo em
e um máximo em
.
c)
é uma função multimodal com dois mínimos em
e
e um máximo em
.
d)
não tem extremos e possui um ponto de sela em
.
e)
é uma função unimodal com um mínimo em
.