Classifique as funções abaixo quanto à sua modalidade. Classifique também cada ponto estacionário.
a) f(x)=-x^4+x^3+20 (unimodal - máximo e sela)
b) f(x)=x^3+3 x^2+x+5 (multimodal - mínimo e máximo)
c) f(x)=x^4-2 x^2+1 (multimodal - dois mínimos e um máximo)
d) f(x)=x1^2-8 x1 x2+x2^2 (não tem extremos - sela)
e) f(x)=x1^2+2 x1+3 x2^2+6 x2+4 (unimodal - mínimo)

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente classificar cinco funções diferentes quanto à sua modalidade (se são unimodais, multimodais, etc.) e também para identificar e classificar cada ponto estacionário que elas possuem. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especialmente derivadas, para encontrar onde as funções têm máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

a) f'(x) = ddx (-x^4 + x^3 + 20) = -4x^3 + 3x^2

1. Encontrar a derivada primeira:
-4x^3 + 3x^2 = 0
2. Encontrar os pontos estacionários (onde x^2(-4x + 3) = 0 ):
f''(x) = ddx (-4x^3 + 3x^2) = -12x^2 + 6x
f''(0) = -12(0)^2 + 6(0) = 0
Então, f''(34) = -12(34)^2 + 6(34) = -274 + 184 = -94 < 0 ou .
3. Calcular a derivada segunda para classificar os pontos:
4. Avaliar a derivada segunda nos pontos encontrados:
  • Para :
    Como a derivada segunda é zero, precisamos analisar o comportamento da derivada primeira próximo a esse ponto. Observando os sinais da derivada antes e depois de 0, vemos que a função muda de crescente para decrescente, indicando um ponto de sela.
  • Para :
    Como a derivada segunda é negativa, temos um ponto de máximo nesse valor de .
5. Determinar a modalidade da função:
O termo de maior grau é , o que faz com que a função tenda a quando tende a . Além disso, há apenas um ponto de máximo e um ponto de sela, então a função é unimodal.

Passo 3

b) f'(x) = 3x^2 + 6x + 1

1. Encontrar a derivada primeira:
3x^2 + 6x + 1 = 0
2. Encontrar os pontos estacionários:
Resolvendo x = -6 pm raiz36 - 126 = -6 pm raiz246 = -6 pm 2raiz66 = -3 pm raiz63 :
f''(x) = 6x + 6
Usando a fórmula de Bhaskara:
f''(-3 + raiz63) = 6(-3 + raiz63) + 6 = -6 + 2raiz6 + 6 = 2raiz6 > 0
Então, temos dois pontos estacionários: f''(-3 - raiz63) = 6(-3 - raiz63) + 6 = -6 - 2raiz6 + 6 = -2raiz6 < 0 e .
3. Calcular a derivada segunda:
4. Avaliar a derivada segunda nos pontos estacionários:
  • Para :
    Derivada segunda positiva indica um mínimo.
  • Para :
    Derivada segunda negativa indica um máximo.
5. Determinar a modalidade da função:
Como a função possui um mínimo e um máximo, ela é multimodal.

Passo 4

c) f'(x) = 4x^3 - 4x

1. Encontrar a derivada primeira:
4x^3 - 4x = 0
2. Encontrar os pontos estacionários:
4x(x^2 - 1) = 0
f''(x) = 12x^2 - 4
Então, f''(0) = 0 - 4 = -4 < 0 , f''(1) = 12(1)^2 - 4 = 12 - 4 = 8 > 0 e f''(-1) = 12(-1)^2 - 4 = 12 - 4 = 8 > 0 .
3. Calcular a derivada segunda:
4. Avaliar a derivada segunda nos pontos estacionários:
  • Para :
    Derivada segunda negativa indica um máximo.
  • Para :
    Derivada segunda positiva indica um mínimo.
  • Para :
    Derivada segunda positiva indica um mínimo.
5. Determinar a modalidade da função:
Com dois mínimos e um máximo, a função é multimodal.

Passo 5

d) fx1 = 2x1 - 8x2

1. Encontrar as derivadas parciais:
fx2 = -8x1 + 2x2
2x1 - 8x2 = 0
2. Encontrar os pontos estacionários resolvendo -8x1 + 2x2 = 0 e -32x1 + 8x2 = 0 :
(2x1 - 8x2) + (-32x1 + 8x2) = -30x1 = 0
0 - 8x2 = 0 Rightarrow x2 = 0
Resolvendo o sistema:
Multiplicando a segunda equação por 4:
H = fx1x1 & fx1x2 fx2x1 & fx2x2 = 2 & -8 -8 & 2
Adicionando com a primeira equação:
det(H) = (2)(2) - (-8)(-8) = 4 - 64 = -60 < 0
Então, . Substituindo na primeira equação:
Portanto, o único ponto estacionário é .
3. Calcular a matriz Hessiana:
4. Determinar o determinante da Hessiana:
Como o determinante é negativo, o ponto estacionário é um ponto de sela.
5. Determinar a modalidade da função:
Como a função tem um ponto de sela e não possui máximos ou mínimos, ela não tem extremos e é considerada de natureza sela.

Passo 6

e) fx1 = 2x1 + 2

1. Encontrar as derivadas parciais:
fx2 = 6x2 + 6
2x1 + 2 = 0 Rightarrow x1 = -1
2. Encontrar os pontos estacionários resolvendo 6x2 + 6 = 0 Rightarrow x2 = -1 e H = fx1x1 & fx1x2 fx2x1 & fx2x2 = 2 & 0 0 & 6 :
det(H) = (2)(6) - (0)(0) = 12 > 0
Portanto, o único ponto estacionário é .
3. Calcular a matriz Hessiana:
4. Determinar o determinante da Hessiana:
Como os elementos da diagonal principal são positivos, o ponto é um mínimo.
5. Determinar a modalidade da função:
Como a função possui apenas um mínimo e a matriz Hessiana é positiva definida, a função é unimodal (tem um único ponto de mínimo).

Resposta

a) é uma função unimodal com um ponto de máximo em e um ponto de sela em .
b) é uma função multimodal com um mínimo em e um máximo em .
c) é uma função multimodal com dois mínimos em e e um máximo em .
d) não tem extremos e possui um ponto de sela em .
e) é uma função unimodal com um mínimo em .

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