Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
(q) lx+2 y-z=3 2 x+y+z=3 x+y+2 z=4

Passo 1

Beleza, vamos lá! Esse exercício pede para a gente classificar e resolver um sistema de equações lineares. A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente sistemas de equações lineares. Para resolver, vamos precisar usar métodos como Substituição ou Eliminação, e também entender como identificar se o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações para ficar mais fácil de visualizar:
x + 2y - z = 3 2x + y + z = 3 x + y + 2z = 4

Passo 3

Vamos usar o método da Eliminação para resolver esse sistema. A ideia é eliminar uma das variáveis de duas equações, facilitando a resolução.

Passo 4

Vamos eliminar o (x + 2y - z) + (2x + y + z) = 3 + 3 das duas primeiras equações. Para isso, vamos somar a primeira equação com a segunda:
3x + 3y = 6 Rightarrow x + y = 2 (Equação 4)
Simplificando:
çã

Passo 5

Agora, vamos eliminar o (2x + y + z) + (x + y + 2z) = 3 + 4 das duas últimas equações. Para isso, vamos somar a segunda equação com a terceira:
3x + 2y + 3z = 7 (Equação 5)
Simplificando:
çã

Passo 6

Agora temos um novo sistema com as Equações 4 e 5:
x + y = 2 3x + 2y + 3z = 7
Vamos usar a Equação 4 para expressar x = 2 - y em termos de :

Passo 7

Substituímos 3(2 - y) + 2y + 3z = 7 na Equação 5:
6 - 3y + 2y + 3z = 7
Distribuindo:
6 - y + 3z = 7 Rightarrow -y + 3z = 1 Rightarrow y = 3z - 1 (Equação 6)
Simplificando:
çã

Passo 8

Agora que temos x = 2 - y = 2 - (3z - 1) = 3 - 3z em termos de , podemos substituir na expressão de :

Passo 9

Vamos agora substituir (3 - 3z) + 2(3z - 1) - z = 3 e 3 - 3z + 6z - 2 - z = 3 na primeira equação original para encontrar 3 - 2 + ( -3z + 6z - z ) = 3 Rightarrow 1 + 2z = 3 :
2z = 2 Rightarrow z = 1
Distribuindo:
Simplificando:
Resolvendo para :

Passo 10

Agora que temos y = 3(1) - 1 = 2 , substituímos de volta para encontrar x = 3 - 3(1) = 0 e :

Resposta

A solução do sistema é:
x = 0, y = 2, z = 1

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