Sejam T, S: R^3 R^3 transformações lineares dadas por
T(x, y, z)=(x+y, y+z, z) e S(x, y, z)=(x+2 y, y-z, x+2 z)
T circ S é um isomorfismo? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A questão envolve verificar se a composição das transformações e , ou seja, , é um isomorfismo. Para isso, precisamos entender o que são transformações lineares e isomorfismos, e depois verificar se a composição delas atende aos critérios para ser um isomorfismo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear L(u + v) = L(u) + L(v) e L(cu) = cL(u) é uma função que respeita as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Ou seja, para quaisquer vetores e escalar , temos:
Um isomorfismo é uma transformação linear que é bijetora, ou seja, é injetora (não “amolda” vetores diferentes em vetores iguais) e sobrejetora (cobre todo o espaço alvo). Para verificar se é um isomorfismo, vamos verificar se essa composição é invertível, o que acontece se e somente se o determinante da matriz associada a for diferente de zero.

Passo 3

Vamos encontrar as matrizes das transformações T(x, y, z) = (x + y, y + z, z) e A = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 .
A transformação S(x, y, z) = (x + 2y, y - z, x + 2z) é dada por:
B = 1 & 2 & 0 0 & 1 & -1 1 & 0 & 2
Podemos escrever a matriz de da seguinte forma:
A transformação é dada por:
E a matriz de é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a matriz da composição A cdot B = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 1 & 2 & 0 0 & 1 & -1 1 & 0 & 2 = 1 cdot 1 + 1 cdot 0 + 0 cdot 1 & 1 cdot 2 + 1 cdot 1 + 0 cdot 0 & 1 cdot 0 + 1 cdot (-1) + 0 cdot 2 0 cdot 1 + 1 cdot 0 + 1 cdot 1 & 0 cdot 2 + 1 cdot 1 + 1 cdot 0 & 0 cdot 0 + 1 cdot (-1) + 1 cdot 2 0 cdot 1 + 0 cdot 0 + 1 cdot 1 & 0 cdot 2 + 0 cdot 1 + 1 cdot 0 & 0 cdot 0 + 0 cdot (-1) + 1 cdot 2 , que é o produto das matrizes A cdot B = 1 & 3 & -1 1 & 1 & 1 1 & 0 & 2 e :
Simplificando cada entrada:

Passo 5

Para verificar se det(A cdot B) = 1 & 3 & -1 1 & 1 & 1 1 & 0 & 2 é um isomorfismo, precisamos checar se a matriz det(A cdot B) = 1 cdot 1 cdot 2 + 3 cdot 1 cdot 1 + (-1) cdot 1 cdot 1 - [(-1) cdot 1 cdot 1 + 1 cdot 1 cdot 1 + 2 cdot 3 cdot 1] = 2 + 3 - 1 - (-1 + 1 + 6) = 4 - 6 = -2 é invertível. Isso acontece se o determinante dessa matriz for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de :
Calculando pelo método de Sarrus:
Como o determinante é , que é diferente de zero, a matriz é invertível.

Resposta

Sim, é um isomorfismo porque a matriz associada à composição tem determinante diferente de zero.

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