Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A questão envolve verificar se a composição das transformações e , ou seja, , é um isomorfismo. Para isso, precisamos entender o que são transformações lineares e isomorfismos, e depois verificar se a composição delas atende aos critérios para ser um isomorfismo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação linear é uma função que respeita as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Ou seja, para quaisquer vetores e escalar , temos:
Um isomorfismo é uma transformação linear que é bijetora, ou seja, é injetora (não “amolda” vetores diferentes em vetores iguais) e sobrejetora (cobre todo o espaço alvo). Para verificar se é um isomorfismo, vamos verificar se essa composição é invertível, o que acontece se e somente se o determinante da matriz associada a for diferente de zero.
Passo 3
Vamos encontrar as matrizes das transformações e .