Verdadeiro V ou falso F, justifique sua resposta.
j) ( Se A é uma matriz de ordem n satisfazendo A^5=0 então det(A)=0.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: "Se é uma matriz de ordem que satisfaz , então ". Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com propriedades de matrizes e determinantes. Para resolver, precisamos entender o que significa e como isso se relaciona com o determinante de .

Passo 2

Primeiro, quando dizemos que , significa que ao multiplicar a matriz por ela mesma cinco vezes, o resultado é a matriz zero. Isso caracteriza como uma matriz nilpotente. Uma matriz é nilpotente se existe algum número inteiro positivo tal que .

Passo 3

Agora, vamos relacionar isso com o determinante. Uma propriedade importante dos determinantes é que se uma matriz é nilpotente, então o determinante de é zero. Isso ocorre porque todas as matrizes nilpotentes têm zero como único valor próprio, e o determinante de é igual ao produto dos seus valores próprios. Assim, se , necessariamente .

Resposta

Verdadeiro. Se , então .

Exercícios relacionados

Considere as matrizes
A=[cc 10 & 25 2 & 5 ], B=[ccc 2 & -4 & 6 5 & -9 & 8 7 & -2 & 1 ] e C=[ccc 1 & -3 & 1 -2 & -3 & -1 -1 & 2 & -1 ]
Calcular det C.
Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
(q) lx+2 y-z=3 2 x+y+z=3 x+y+2 z=4
Considere as matrizes
A=[cc 10 & 25 2 & 5 ], B=[ccc 2 & -4 & 6 5 & -9 & 8 7 & -2 & 1 ] e C=[ccc 1 & -3 & 1 -2 & -3 & -1 -1 & 2 & -1 ]
Verificar se det(B+C)=det B+det C
Classifique e resolva (quando possível) cada um dos sistemas abaixo:
(p)cx+2 y-z=2 x-y+2 z=5 3 x-y-z=2 2 x+3 y+z=11