Verdadeiro ou falso , justifique sua resposta.
j) Se A é uma matriz de ordem n satisfazendo então .
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: "Se é uma matriz de ordem que satisfaz , então ". Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com propriedades de matrizes e determinantes. Para resolver, precisamos entender o que significa e como isso se relaciona com o determinante de .
Passo 2
Primeiro, quando dizemos que , significa que ao multiplicar a matriz por ela mesma cinco vezes, o resultado é a matriz zero. Isso caracteriza como uma matriz nilpotente. Uma matriz é nilpotente se existe algum número inteiro positivo tal que .
Passo 3
Agora, vamos relacionar isso com o determinante. Uma propriedade importante dos determinantes é que se uma matriz é nilpotente, então o determinante de é zero. Isso ocorre porque todas as matrizes nilpotentes têm zero como único valor próprio, e o determinante de é igual ao produto dos seus valores próprios. Assim, se , necessariamente .