Classifique as sentenças em falso ( F ) ou verdade ( V ):
I. Se é independente de e é independente de , então é independente de .
II. Se é independente de e de e , então é independente de .
III. Se é independente de e é independente de e é independente de , então é independente de .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três sentenças sobre independência entre conjuntos , e . Nosso objetivo é dizer se cada uma delas é verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso, vamos precisar entender o conceito de independência de conjuntos, que basicamente significa que a ocorrência de um conjunto não afeta a ocorrência do outro.

Passo 2

Vamos analisar a Sentença I:
“Se é independente de e é independente de , então é independente de .”
Explicação: A independência entre e , e entre e , não garante necessariamente a independência entre e a união . Isso porque a união pode criar uma nova relação onde e não são independentes.
Conclusão: Falsa (F).

Passo 3

Agora, vamos para a Sentença II:
“Se é independente de e de e , então é independente de .”
Explicação: Aqui, além de ser independente de e de , temos que e não têm elementos em comum ( ). Isso significa que a união não cria sobreposição que poderia introduzir dependência. Portanto, a independência de com cada conjunto individual se mantém na união.
Conclusão: Verdadeira (V).

Passo 4

Por fim, vamos analisar a Sentença III:
“Se é independente de e é independente de e é independente de , então é independente de .”
Explicação: Mesmo que seja independente de , e de , e de , isso não necessariamente implica que e sejam independentes. A interseção pode introduzir dependências que não estavam presentes antes.
Conclusão: Falsa (F).

Resposta

I. F
II. V
III. F

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