Classifique os vetores abaixo em L.I. ou L.D. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, temos a seguinte questão: precisamos classificar os vetores , e como Linearmente Independentes (L.I.) ou Linearmente Dependentes (L.D.). Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear relacionados a combinações lineares e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dois conceitos importantes:
Vetores Linearmente Independentes (L.I.): São vetores que não podem ser escritos como uma combinação linear uns dos outros. Ou seja, a única maneira de combinar esses vetores para obter o vetor zero é usando os coeficientes todos iguais a zero.
Vetores Linearmente Dependentes (L.D.): São vetores onde pelo menos um vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Isso significa que existe uma maneira de combinar esses vetores com coeficientes diferentes de zero para obter o vetor zero.
Passo 3
Para verificar se os vetores , e são L.I. ou L.D., vamos montar uma combinação linear deles igual a zero e ver quais são os coeficientes que satisfazem essa equação:
Substituindo os vetores, temos:
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de a = -b = 0 c = b = 0 , e . Começando pela primeira equação:
=>
Substituindo na terceira equação:
=>
Agora, substituímos na segunda equação:
=> =>
Com , então:
Passo 5
Encontramos que a única solução para o sistema é , e . Isso significa que a combinação linear dos vetores só resulta no vetor zero quando todos os coeficientes são zero.
Resposta
Portanto, os vetores , e são Linearmente Independentes (L.I.).