Discuta a posição relativa entre os pares de retas e . Caso sejam concorrentes, determine, também, o ponto de interseção entre e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar como duas retas estão posicionadas no espaço: elas são paralelas, se cruzam, estão na mesma direção ou são “escorregadias” (não coplanares). Para isso, vamos precisar usar conceitos de Geometria Analítica no Espaço, como vetores direcionais e sistemas de equações. Nosso objetivo final é descobrir se essas retas se cruzam e, se sim, encontrar o ponto de interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações das retas na forma paramétrica para facilitar a análise.
A reta está dada por:
Podemos considerar um parâmetro para expressar e :
Então, a forma paramétrica de é:
Passo 3
Agora, vamos fazer o mesmo para a reta x - 32 = 1 - y = z - 32 :
x = 3 + 2s y = 1 - s z = 3 + 2s
Usando um parâmetro r2: x = 3 + 2s y = 1 - s z = 3 + 2s :
Assim, a forma paramétrica de é:
Passo 4
Para verificar se as retas são paralelas ou não, comparamos os vetores diretores delas. O vetor diretor de -12 neq 3-1 neq 22 é e o de é .
Se um vetor é múltiplo do outro, as retas são paralelas. Vamos ver:
Como as razões não são iguais, as retas não são paralelas.
Passo 5
Como as retas não são paralelas, pode ser que elas se cruzem ou sejam duas retas que não estão no mesmo plano (retas espúrias). Para descobrir, precisamos verificar se existe um ponto que pertence às duas retas simultaneamente.
Vamos igualar as equações paramétricas:
2 - t = 3 + 2s -1 + 3t = 1 - s -1 + 2t = 3 + 2s
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações. Começamos pela primeira equação:
2 - t = 3 + 2s implies -t - 2s = 1 implies t + 2s = -1 (1)
Agora, a segunda equação:
-1 + 3t = 1 - s implies 3t + s = 2 (2)
E a terceira equação:
-1 + 2t = 3 + 2s implies 2t - 2s = 4 implies t - s = 2 (3)
Passo 7
Vamos resolver o sistema usando as equações (1) e (3):
Agora, substituindo t = -1 + 2 = 1 na equação (3):
Passo 8
Com 3(1) + (-1) = 3 -1 = 2 confere com a equação (2) e , vamos verificar na segunda equação se está tudo certo:
çã
Então, existe um ponto que pertence às duas retas.
Passo 9
Agora, vamos encontrar as coordenadas desse ponto usando os valores de x = 2 - 1 = 1 y = -1 + 3(1) = 2 z = -1 + 2(1) = 1 e x = 3 + 2(-1) = 1 y = 1 - (-1) = 2 z = 3 + 2(-1) = 1 .
Para :
Para :
O ponto é .
Resposta
As retas e são concorrentes e se intersectam no ponto .