Classifique os vetores abaixo em L.I. ou L.D. Justifique sua resposta.
Passo 1
Então, temos três vetores: , e . A questão é identificar se esses vetores são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a ideia de combinação linear e sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente ou dependente. Vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação linear deles, além da trivial (onde todos os coeficientes são zero), resulta no vetor zero. Caso contrário, eles são linearmente dependentes.
Passo 3
Vamos considerar uma combinação linear dos vetores igual a zero:
Isso dá:
Passo 4
Expandindo os vetores, temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para ver se existe uma solução não trivial (onde pelo menos um dos coeficientes a, b, c é diferente de zero).
Passo 5
Simplificando a segunda equação dividindo por 2:
a + b + c = 0
Agora temos:
a + b + 6c = 0 a + b + c = 0 3a + 5b + 3c = 0
Subtraindo a segunda equação da primeira:
( a + b + 6c ) - ( a + b + c ) = 0 Rightarrow 5c = 0 Rightarrow c = 0
A única solução possível é a = b = c = 0, que é a solução trivial. Isso significa que não existe combinação linear não trivial que resulte no vetor zero.
Resposta
Os vetores u, v e w são linearmente independentes (LI).