Classifique os vetores abaixo em L.I. ou L.D. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa classificar os vetores , e como Linearmente Independentes (L.I.) ou Linearmente Dependentes (L.D.). Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre a independência linear de vetores. Vamos precisar verificar se existe uma combinação linear dos vetores que dê o vetor zero, além de usar determinantes para facilitar a análise.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser Linearmente Independente ou Dependente. Vetores são Linearmente Independentes se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, se só tiver a solução , os vetores são L.I.
Caso contrário, se existir alguma combinação não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulte no vetor zero, os vetores são Linearmente Dependentes.
Passo 3
Uma maneira prática de verificar isso é formando uma matriz com os vetores como colunas e calculando o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são L.I.; se for zero, são L.D.
Vamos montar a matriz com os vetores , e :
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)) . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vamos usar a regra de Laplace para facilitar:
det(A) = 0 times (3 times (-3) - 7 times 0) - 1 times (5 times (-3) - 7 times 0) + 0 times (5 times 0 - 3 times 0)
Substituindo os valores:
det(A) = 0 - 1 times (-15) + 0 = 15
Passo 5
Como o determinante é diferente de zero, isso significa que os vetores , e são Linearmente Independentes.