Classifique os vetores abaixo em L.I. ou L.D. Justifique sua resposta.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício perguntando se os vetores , e são Linearmente Independentes (L.I.) ou Linearmente Dependentes (L.D.). A matéria que estamos lidando aqui é Álgebra Linear, mais especificamente o conceito de dependência e independência linear. Para resolver isso, vamos precisar entender se algum desses vetores pode ser escrito como uma combinação dos outros.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa Linearmente Dependente. Três vetores são linearmente dependentes se pelo menos um deles puder ser escrito como uma combinação linear dos outros. Isso significa que existe uma relação onde uma combinação desses vetores resulta no vetor zero, sem que todos os coeficientes dessa combinação sejam zero.
Passo 3
Vamos começar olhando os vetores e . Queremos ver se um é múltiplo do outro. Para isso, vamos tentar encontrar um número tal que:
Analisando as componentes:
Como encontramos o mesmo valor de para todas as componentes, isso significa que:
Portanto, é múltiplo de , o que indica que e são Linearmente Dependentes.
Passo 4
Agora, vamos considerar o conjunto completo . Sabemos que se algum vetor no conjunto pode ser escrito como combinação dos outros, todo o conjunto é Linearmente Dependente. Já vimos que é múltiplo de , então mesmo sem analisar , já sabemos que o conjunto inteiro é dependente.