Encontre a distância do ponto P ao Plano pi, nos casos:
P(1,1,1), pi:lx=2+2 lambda+3 t y=-1+lambda+t z=2-lambda Rpta: 6 / raiz11

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a distância do ponto até o plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula para calcular a distância de um ponto a um plano. Primeiro, vamos entender como está definido o plano e identificar os vetores que vão ajudar na nossa resolução.

Passo 2

O plano x = 2 + 2lambda + 3t y = -1 + lambda + t z = 2 - lambda está dado de forma paramétrica:
Aqui, e são parâmetros. Para achar a equação geral do plano, precisamos identificar dois vetores diretores e o vetor normal ao plano.

Passo 3

Vamos identificar dois vetores diretores a partir dos coeficientes de e :
  • Vetor diretor 1 ( ): coeficientes de
  • Vetor diretor 2 ( ): coeficientes de

Passo 4

Para encontrar o vetor normal ( n = u times v = i & j & k 2 & 1 & -1 3 & 1 & 0 = i(1 cdot 0 - (-1) cdot 1) - j(2 cdot 0 - (-1) cdot 3) + k(2 cdot 1 - 1 cdot 3) ) ao plano, fazemos o produto vetorial dos vetores diretores n = i(0 + 1) - j(0 + 3) + k(2 - 3) = (1, -3, -1) e :

Passo 5

Agora que temos o vetor normal x = 2, y = -1, z = 2 , podemos escrever a equação geral do plano usando o ponto dado no plano. Vamos escolher e para encontrar um ponto específico no plano:
Então, o ponto está no plano .

Passo 6

A equação geral do plano é dada por:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde 1(x - 2) - 3(y + 1) - 1(z - 2) = 0 são as componentes do vetor normal x - 2 - 3y - 3 - z + 2 = 0 implies x - 3y - z - 3 = 0 e é o ponto . Substituindo:
Simplificando:

Passo 7

Agora, usamos a fórmula da distância de um ponto d = |a x1 + b y1 + c z1 + d|raiza^2 + b^2 + c^2 até o plano :
Nossa equação do plano é , então , , , e . O ponto é .

Passo 8

Substituindo na fórmula:
d = |1 cdot 1 + (-3) cdot 1 + (-1) cdot 1 - 3|raiz1^2 + (-3)^2 + (-1)^2 = |1 - 3 - 1 - 3|raiz1 + 9 + 1 = |-6|raiz11 = 6raiz11

Resposta

A distância do ponto ao plano é .

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