Um cliente de uma torrefação de café suspeita que os pesos dos pacotes, que deveriam ser de 500 g , não estão corretos. Resolveu, então, retirar uma amostra dos pesos de 16 pacotes (supondo que provenham de uma distribuição normal):
l 510,495,498,500,501,499,503,500,495,492,499,499,497, 495,499,501
Calcule o peso médio e o desvio padrão dos elementos da amostra.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que um cliente suspeita que os pacotes de café, que deveriam pesar 500 gramas, não estão com o peso correto. Ele retirou uma amostra de 16 pacotes com os seguintes pesos:
510, 495, 498, 500, 501, 499, 503, 500, 495, 492, 499, 499, 497, 495, 499, 501
O objetivo é calcular o peso médio (ou média) e o desvio padrão desses pacotes. Para isso, vamos usar conceitos básicos de estatística descritiva, que nos ajudam a resumir e entender melhor os dados coletados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o peso médio da amostra. A média é simplesmente a soma de todos os valores dividida pelo número total de valores. A fórmula da média ( barx = sumi=1^n xin ) é:
Onde:
  • é a soma de todos os pesos.
  • é o número total de pacotes na amostra.

Passo 3

Vamos somar todos os pesos dos 16 pacotes:
510 + 495 + 498 + 500 + 501 + 499 + 503 + 500 + 495 + 492 + 499 + 499 + 497 + 495 + 499 + 501
Calculando passo a passo:
510 + 495 &= 1005 1005 + 498 &= 1503 1503 + 500 &= 2003 2003 + 501 &= 2504 2504 + 499 &= 3003 3003 + 503 &= 3506 3506 + 500 &= 4006 4006 + 495 &= 4501 4501 + 492 &= 4993 4993 + 499 &= 5492 5492 + 499 &= 5991 5991 + 497 &= 6488 6488 + 495 &= 6983 6983 + 499 &= 7482 7482 + 501 &= 7983
Portanto, a soma dos pesos é 7983 gramas.

Passo 4

Agora, vamos calcular a média utilizando a fórmula mencionada:
barx = 798316 = 498.9375 gramas
Então, o peso médio dos pacotes na amostra é de aproximadamente 498,94 gramas.

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o desvio padrão, que nos mostra o quanto os valores individuais se afastam da média. A fórmula do desvio padrão amostral ( s = raizsumi=1^n (xi - barx)^2n - 1 ) é:
Onde:
  • são os valores individuais dos pesos.
  • é a média que já calculamos.
  • é o número total de pacotes.

Passo 6

Primeiro, precisamos calcular a diferença de cada peso para a média e depois elevar essa diferença ao quadrado:
(xi - barx)^2
Vamos fazer isso para cada pacote:
(510 - 498.94)^2 &= (11.06)^2 = 122.32 (495 - 498.94)^2 &= (-3.94)^2 = 15.52 (498 - 498.94)^2 &= (-0.94)^2 = 0.88 (500 - 498.94)^2 &= (1.06)^2 = 1.12 (501 - 498.94)^2 &= (2.06)^2 = 4.24 (499 - 498.94)^2 &= (0.06)^2 = 0.0036 (503 - 498.94)^2 &= (4.06)^2 = 16.48 (500 - 498.94)^2 &= (1.06)^2 = 1.12 (495 - 498.94)^2 &= (-3.94)^2 = 15.52 (492 - 498.94)^2 &= (-6.94)^2 = 48.16 (499 - 498.94)^2 &= (0.06)^2 = 0.0036 (499 - 498.94)^2 &= (0.06)^2 = 0.0036 (497 - 498.94)^2 &= (-1.94)^2 = 3.76 (495 - 498.94)^2 &= (-3.94)^2 = 15.52 (499 - 498.94)^2 &= (0.06)^2 = 0.0036 (501 - 498.94)^2 &= (2.06)^2 = 4.24

Passo 7

Agora, somamos todas essas diferenças ao quadrado:
122.32 + 15.52 + 0.88 + 1.12 + 4.24 + 0.0036 + 16.48 + 1.12 + 15.52 + 48.16 + 0.0036 + 0.0036 + 3.76 + 15.52 + 0.0036 + 4.24 = 237.9232

Passo 8

Em seguida, vamos dividir essa soma pelo número de graus de liberdade, que no caso de uma amostra é 237.923215 = 15.8615 :

Passo 9

Por fim, tiramos a raiz quadrada desse resultado para encontrar o desvio padrão:
s = raiz15.8615 approx 3.983 gramas

Resposta

O peso médio dos pacotes é de aproximadamente 498,94 gramas e o desvio padrão é de aproximadamente 3,98 gramas.

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