O coeficiente de difusão dos átomos de prata na própria prata em estado sólido é 1,0 times 10^-17 m^2 / s a 500^circ C e 7,0 times 10^-13 m^2 / s a 1000^circ C. Calcule a energia de ativação ( J / mol ) para a difusão da prata na prata, na gama de temperatura entre 500 e 1000^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a energia de ativação para a difusão dos átomos de prata na prata sólida, usando os coeficientes de difusão fornecidos em duas temperaturas diferentes. Para isso, vamos usar a equação de Arrhenius, que nos ajuda a relacionar a temperatura com a taxa de uma reação ou processo, como a difusão neste caso.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin, porque nas equações de física e química a temperatura precisa estar nessa unidade. A fórmula para converter é:
T(K) = T(°C) + 273,15
Então:
  • Para 500^circ C:
500 + 273,15 = 773,15 , K
  • Para 1000^circ C:
1000 + 273,15 = 1273,15 , K

Passo 3

Agora, vamos usar a equação de Arrhenius para difusão, que é:
D = D0 times e^-Q/(R T)
Onde:
  • D é o coeficiente de difusão,
  • D0 é o coeficiente de difusão pre-exponencial,
  • Q é a energia de ativação,
  • R é a constante dos gases (8,314 J/mol·K),
  • T é a temperatura em Kelvin.
Como temos os valores de D em duas temperaturas diferentes, vamos montar duas equações.

Passo 4

Vamos montar as duas equações usando os dados fornecidos:
Para T1 = 773,15 , K e D1 = 1,0 times 10^-17 , m^2/s:
1,0 times 10^-17 = D0 times e^-Q/(8,314 times 773,15)
Para T2 = 1273,15 , K e D2 = 7,0 times 10^-13 , m^2/s:
7,0 times 10^-13 = D0 times e^-Q/(8,314 times 1273,15)

Passo 5

Para eliminar D0 e resolver para Q, dividimos a segunda equação pela primeira:
7,0 times 10^-131,0 times 10^-17 = D0 times e^-Q/(8,314 times 1273,15)D0 times e^-Q/(8,314 times 773,15)
Isso simplifica para:
7,0 times 10^4 = e^-Q/(8,314 times 1273,15) div e^-Q/(8,314 times 773,15) = e^Q/(8,314) ( 1773,15 - 11273,15 )

Passo 6

Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para Q:
ln(7,0 times 10^4) = Q8,314 ( 1773,15 - 11273,15 )
Calculando ln(7,0 times 10^4):
ln(7,0 times 10^4) approx 11,156
E:
1773,15 - 11273,15 approx 0,001295 - 0,000786 = 0,000509 , K^-1

Passo 7

Agora, isolamos Q:
Q = 11,156 times 8,3140,000509
Calculando:
Q approx 92,730,000509 approx 182.000 , J/mol

Resposta

A energia de ativação para a difusão da prata na prata é aproximadamente 1,82 times 10^5 , J/mol.

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