Um coelho atravessa um estacionamento, no qual, por alguma razão, um conjunto de eixos coordenados foi desenhado. As coordenadas da posição do coelho, em metros, em função do tempo t, em segundos, são dadas por
(a) No instante
, qual é o vetor posição do coelho na notação dos vetores unitários e na notação módulo-ângulo? (b) Determine a velocidade no instante t
do coelho; © Determine a aceleração no instante
do coelho.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve calcular a posição, velocidade e aceleração de um coelho em um estacionamento usando coordenadas. Vamos precisar de conceitos de movimento vetorial, derivadas para encontrar velocidade e aceleração, e um pouco de trigonometria para a notação módulo-ângulo.
Passo 2
Parte (a): Encontrar o vetor posição no instante
s
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas
e
do coelho no tempo
segundos usando as equações fornecidas:
Substituindo
:
Vamos calcular cada um:
Agora, o vetor posição
na notação dos vetores unitários
e
é:
Para encontrar a notação módulo-ângulo, calculamos o módulo do vetor e o ��ngulo que ele forma com o eixo
:
Módulo
:
Ângulo
:
Então, o vetor posição em módulo-ângulo é aproximadamente
com um ângulo de
.
Passo 3
Parte (b): Determinar a velocidade no instante
s
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Vamos derivar as equações de
e
:
Agora, substituindo
s:
Então, o vetor velocidade
no instante
s é:
O módulo da velocidade é:
E o ângulo
:
Como ambos
e
são negativos, o vetor está no terceiro quadrante, então o ângulo real é
.
Passo 4
Parte ©: Determinar a aceleração no instante
s
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição. Vamos derivar
e
:
Então, o vetor aceleração
no instante
s é:
O módulo da aceleração é:
E o ângulo
:
Como
é negativo e
é positivo, o vetor aceleração está no segundo quadrante, então o ângulo real é
.
Resposta
(a) No instante
s, o vetor posição do coelho é
na notação dos vetores unitários e
com ângulo de
na notação módulo-ângulo.
(b) A velocidade no instante
s é
com módulo de aproximadamente
e ângulo de
.
© A aceleração no instante
s é
com módulo de aproximadamente
e ângulo de
.
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.
Determine:
a) o espaço inicial, a velocidade inicial e a aceleração da partícula;
b) o espaço do móvel no instante :
c) a velocidade no instante :
d) o instante e o espaço em que o móvel muda de sentido.
Determine:
a) o espaço inicial, a velocidade inicial e a aceleração da partícula;
b) o espaço do móvel no instante
c) a velocidade no instante
d) o instante e o espaço em que o móvel muda de sentido.