Uma coluna de aço com seção transversal circular vazada é suportada por uma placa de aço circular e por um bloco de concreto. A coluna tem diâmetro externo e suporta uma carga . Se a tensão admissível no bloco de concreto é , qual é o diâmetro mínimo da placa de aço? Baseado em seu resultado, escolha um diâmetro inteiro em milímetros.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma coluna de aço com seção circular vazada, apoiada por uma placa de aço circular e um bloco de concreto. A coluna tem um diâmetro externo de e suporta uma carga de . A tensão admissível no bloco de concreto é de . A pergunta é: qual é o diâmetro mínimo da placa de aço? E, baseado no resultado, escolheremos um diâmetro inteiro em milímetros.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente relacionados à tensão e áreas de contato. Precisaremos calcular a área necessária da placa de aço para suportar a carga sem exceder a tensão admissível no concreto e, a partir dessa área, determinar o diâmetro mínimo da placa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre carga, tensão e área. A tensão ( ) é definida como a força ( ) dividida pela área ( ) sobre a qual essa força está distribuída:
Queremos encontrar a área mínima que a placa de aço deve ter para que a tensão no concreto não ultrapasse . Rearranjando a fórmula para encontrar a área, temos:

Passo 3

Vamos converter todas as unidades para que fiquem consistentes. A carga está em quilonewtons (kN) e a tensão está em megapascal (MPa). Sabemos que:
Então, convertendo e para unidades de newtons (N) e newtons por metro quadrado (N/m²):

Passo 4

Agora, vamos calcular a área mínima necessária usando a fórmula que rearranjamos:
Fazendo a conta:
Para facilitar, vamos converter essa área para milímetros quadrados (mm²), já que o diâmetro pedido está em milímetros:
Então:

Passo 5

Sabemos que a placa de aço é circular, então a área da seção transversal da placa pode ser calculada pela fórmula da área do círculo:
Queremos encontrar o diâmetro , então vamos rearranjar a fórmula:
Substituindo a área que calculamos:

Passo 6

Realizando os cálculos:
Primeiro, multiplicamos 4 por 65.200:
Agora, dividimos por (aproximadamente 3,1416):
Finalmente, tiramos a raiz quadrada:

Resposta

O diâmetro mínimo da placa de aço é aproximadamente 288 mm. Como devemos escolher um diâmetro inteiro em milímetros, arredondamos para 290 mm.

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