Uma coluna de aço com seção transversal circular vazada é suportada por uma placa de aço circular e por um bloco de concreto. A coluna tem diâmetro externo de=250 mm e suporta uma carga P=750 kN. Se a tensão admissível no bloco de concreto é 11,5 MPa, qual é o diâmetro mínimo da placa de aço? Baseado em seu resultado, escolha um diâmetro inteiro em milímetros.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma coluna de aço com seção circular vazada, apoiada por uma placa de aço circular e um bloco de concreto. A coluna tem um diâmetro externo de de = 250 mm e suporta uma carga de P = 750 kN. A tensão admissível no bloco de concreto é de 11,5 MPa. A pergunta é: qual é o diâmetro mínimo da placa de aço? E, baseado no resultado, escolheremos um diâmetro inteiro em milímetros.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente relacionados à tensão e áreas de contato. Precisaremos calcular a área necessária da placa de aço para suportar a carga sem exceder a tensão admissível no concreto e, a partir dessa área, determinar o diâmetro mínimo da placa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre carga, tensão e área. A tensão ( sigma) é definida como a força ( P) dividida pela área ( A) sobre a qual essa força está distribuída:
sigma = PA
Queremos encontrar a área mínima que a placa de aço deve ter para que a tensão no concreto não ultrapasse 11,5 MPa. Rearranjando a fórmula para encontrar a área, temos:
A = Psigma

Passo 3

Vamos converter todas as unidades para que fiquem consistentes. A carga P está em quilonewtons (kN) e a tensão sigma está em megapascal (MPa). Sabemos que:
  • 1 kN = 1,000 N
  • 1 MPa = 1,000,000 N/m^2
Então, convertendo P e sigma para unidades de newtons (N) e newtons por metro quadrado (N/m²):
P = 750 kN = 750 times 1,000 = 750,000 N
sigma = 11,5 MPa = 11,5 times 1,000,000 = 11,500,000 N/m^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a área mínima necessária usando a fórmula que rearranjamos:
A = 750,000 N11,500,000 N/m^2 = 750,00011,500,000 m^2
Fazendo a conta:
A approx 0,0652 m^2
Para facilitar, vamos converter essa área para milímetros quadrados (mm²), já que o diâmetro pedido está em milímetros:
1 m^2 = 1,000,000 mm^2
Então:
A approx 0,0652 times 1,000,000 = 65,200 mm^2

Passo 5

Sabemos que a placa de aço é circular, então a área da seção transversal da placa pode ser calculada pela fórmula da área do círculo:
A = pi d^24
Queremos encontrar o diâmetro d, então vamos rearranjar a fórmula:
d = raiz4Api
Substituindo a área que calculamos:
d = raiz4 times 65,200pi mm

Passo 6

Realizando os cálculos:
Primeiro, multiplicamos 4 por 65.200:
4 times 65,200 = 260,800
Agora, dividimos por pi (aproximadamente 3,1416):
260,8003,1416 approx 83,000
Finalmente, tiramos a raiz quadrada:
d = raiz83,000 approx 288, mm

Resposta

O diâmetro mínimo da placa de aço é aproximadamente 288 mm. Como devemos escolher um diâmetro inteiro em milímetros, arredondamos para 290 mm.

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