Comente sobre as escalas de comprimento de um escoamento turbulento, correlacionando-as com o espectro de energia cinética turbulenta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma pergunta sobre as escalas de comprimento em um escoamento turbulento e como elas se relacionam com o espectro de energia cinética turbulenta. Isso faz parte da matéria de mecanica dos fluidos, especificamente estudando turbulência. Para resolver, vamos precisar entender o que são escalas de comprimento, o que é o espectro de energia cinética e como elas se conectam no contexto da turbulência.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre escoamento turbulento. É aquele tipo de fluido que se move de maneira desordenada, com redemoinhos e vórtices, ao contrário de um escoamento laminar, que é mais organizado.

Passo 3

Agora, sobre as escalas de comprimento: em turbulência, temos diferentes tamanhos de redemoinhos, desde os maiores, que têm escalas do tamanho do sistema ou do objeto que está forçando o escoamento, até os menores, chamados de escalas de dissipação, onde a energia do movimento vórtico é transformada em calor devido à viscosidade do fluido.

Passo 4

Vamos introduzir o espectro de energia cinética turbulenta, que descreve como a energia cinética está distribuída entre as diferentes escalas de comprimento (ou, equivalentemente, diferentes escalas de tempo ou números de onda). Basicamente, ele nos mostra quanta energia está presente em cada tamanho de redemoinho.

Passo 5

No espectro de energia, as grandes escalas (grandes redemoinhos) contêm mais energia. Conforme diminuímos o tamanho dos redemoinhos, a energia vai se espalhando até chegar às escalas menores, onde essa energia é dissipada.

Passo 6

Uma das leis fundamentais nesse contexto é a Lei de Kolmogorov, que descreve como a energia é transferida nas diferentes escalas no chamado range de Kolmogorov (escalas intermédias entre as grandes e as de dissipação). Segundo Kolmogorov, o espectro de energia $ E(k) $ em função do número de onda $ k $ (que é inversamente proporcional ao comprimento) segue uma relação $ E(k) \propto \epsilon^{2/3} k^{-5/3} $, onde $ \epsilon $ é a taxa de dissipação de energia.

Passo 7

Isso significa que, no espectro, há uma faixa de escalas onde a energia diminui com o aumento do número de onda (ou diminuição do comprimento), seguindo uma potência de . Essa faixa representa a cascata de energia – a transferência de energia das grandes escalas para as menores.

Resposta

Em resumo, as escalas de comprimento em um escoamento turbulento variam desde grandes redemoinhos que contêm a maior parte da energia cinética até pequenas escalas onde a energia é dissipada como calor. O espectro de energia cinética turbulenta ilustra essa distribuição de energia ao longo das diferentes escalas, mostrando que a energia diminui conforme as escalas de comprimento diminuem, seguindo a relação $ E(k) \propto \epsilon^{2/3} k^{-5/3} $ nas escalas intermediárias. Isso reflete a transferência de energia das grandes para as pequenas escalas na turbulência.

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Correlacione turbulência, número de Reynolds, grandes escalas, escalas dissipativas e espectro de energia.