Uma companhia de refrigerantes está estudando a carga axial que pode ser aplicada a latas de alumínio mais fino antes de haver deformação. A distribuição de probabilidade dessa carga é desconhecida, porém sabe-se por estudos anteriores que o desvio padrão é de 17,5 libras. Uma amostra aleatória de 144 dessas latas forneceu uma carga axial média de 265 libras com desvio padrão de 18 libras. Deseja-se verificar, ao nível de significância de 0,03, se as latas de alumínio mais fino têm uma carga axial média menor que 270 libras, valor observado nas latas padrões.
b. Apresente a região crítica associada ao nível de significância de 3%

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A questão fala sobre verificar se latas de alumínio mais finas aguentam menos carga axial (força) do que as latas padrão, que suportam 270 libras. A matéria que vamos usar aqui é teste de hipóteses na estatística, especificamente usando a distribuição normal. Vamos precisar do desvio padrão da população (17,5 libras), do tamanho da amostra (144 latas) e da média observada na amostra (265 libras).

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas hipóteses:
  • Hipótese Nula (H₀): A média da carga axial das latas mais finas é igual a 270 libras. Ou seja, $ \mu = 270 $.
  • Hipótese Alternativa (H₁): A média da carga axial das latas mais finas é menor que 270 libras. Ou seja, $ \mu < 270 $.

Passo 3

Como conhecemos o desvio padrão da população (17,5 libras) e a amostra é grande (n = 144), podemos usar o teste z para essa análise.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor crítico z que corresponde ao nível de significância de 3% (0,03) para um teste unilateral à esquerda. Isso significa que estamos procurando o z que deixa 3% da área total da distribuição à sua esquerda.
Consultando uma tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos que:
zcrítico approx -1,88 í

Passo 5

Vamos transformar esse valor crítico z para um valor crítico na média da amostra $ \bar{x} $. Usamos a seguinte fórmula:
barx í
Onde:
  • $ \mu_0 = 270 $ libras (média padrão)
  • $ \sigma = 17,5 $ libras
  • $ n = 144 $
Calculando:
barx = mu0 + zcrítico times ( sigmaraizn )

Passo 6

A região crítica é o conjunto de valores da média da amostra que nos levariam a rejeitar a hipótese nula. Nesse caso, qualquer média abaixo de 267,26 libras está na região crítica.

Resposta

A região crítica associada ao nível de significância de 3% é $ \bar{x} < 267{,}26 $ libras.

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