Um engenheiro está estudando a durabilidade, em quilômetros, de um novo pneu. De um lote de 100 pneus, ele selecionou, ao acaso, 16 e os testou numa estrada até o fim de suas vidas úteis. Os quilômetros médios e o desvio padrão foram 60.139,7 km e 3.645,94 km, respectivamente. Se é possível demostrar que a durabilidade média do novo pneu é maior que 60.000 km então a companhia continuará fabricando-o. Caso contrário, sua produção será suspensa. Assuma normalidade.
c. Ao nível de significância 5 %, qual deve ser a decisão a ser tomada?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um engenheiro que testou a durabilidade de um novo pneu. Ele selecionou 16 pneus de um lote de 100 e mediu a média de quilômetros que cada pneu durou até acabar, que foi de 60.139,7 km com um desvio padrão de 3.645,94 km. Queremos saber, com um nível de significância de 5%, se a durabilidade média desse pneu é realmente maior que 60.000 km para decidir se a produção continua ou não. Vamos usar estatística inferencial, especificamente um teste de hipótese para a média.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses:
  • Hipótese nula ( H0): A durabilidade média do pneu é menor ou igual a 60.000 km.
    H0: mu <= 60.000 , km
  • Hipótese alternativa ( H1): A durabilidade média do pneu é maior que 60.000 km.
    H1: mu > 60.000 , km

Passo 3

Como estamos trabalhando com uma amostra pequena (n = 16) e não conhecemos o desvio padrão da população, vamos usar o teste t de Student. A fórmula para o teste t é:
t = barx - mu0sraizn
Onde:
  • barx é a média da amostra.
  • mu0 é a média hipotética (60.000 km).
  • s é o desvio padrão da amostra.
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
t = 60.139,7 - 60.0003.645,94raiz16 = 139,73.645,944 = 139,7911,485 approx 0,153

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico para o teste t com nível de significância de 5% e graus de liberdade df = n - 1 = 15. Consultando a tabela t, encontramos que o valor crítico para um teste unilateral ( H1: mu > 60.000) é aproximadamente $ t_{crítico} = 1,753 $.

Passo 6

Comparamos o valor calculado de t com o valor crítico:
0,153 < 1,753
Como $ t $ calculado é menor que $ t_{crítico} $, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com um nível de significância de 5%, não há evidências suficientes para afirmar que a durabilidade média do novo pneu é maior que 60.000 km. Portanto, a produção do pneu será suspensa.

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