Compare o comportamento do escoamento de água em uma tubulação de aço com 5 cm de diâmetro para os seguintes casos:
Caso A: Água a 15^circ C com uma vazão de 2 times 10^-3 m^3 / s.
Caso B: Água a 15^circ C com vazão de 1 times 10^-4 m^3 / s.
( rho=999 kg / m^3 e mu=1,14 times 10^-3 kg / m s )
Determine a perda de carga e a potência requerida pela bomba para efetuar tal escoamento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre o escoamento de água em uma tubulação de aço com 5 cm de diâmetro. Precisamos comparar dois casos diferentes de vazão e descobrir quanto de perda de carga ocorre em cada um deles, além da potência que uma bomba precisaria para manter esse escoamento. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica dos fluidos, como a Equação de Darcy-Weisbach para perda de carga e a fórmula de potência hidráulica.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o diâmetro da tubulação de centímetros para metros, porque as unidades no SI são mais fáceis de trabalhar. O diâmetro D = 0,05 , m é de 5 cm, então:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a velocidade da água em cada caso usando a vazão V = QA . A fórmula para a velocidade A = pi (D2)^2 é:
A = pi (0,052)^2 = pi (0,025)^2 approx 0,00196 , m^2
Onde é a área da seção transversal da tubulação. A área de um círculo é:
Vamos calcular :

Passo 4

Vamos calcular a velocidade da água para cada caso.
Caso A:
QA = 2 times 10^-3 , m^3/s
VA = 2 times 10^-30,00196 approx 1,02 , m/s
Caso B:
QB = 1 times 10^-4 , m^3/s
VB = 1 times 10^-40,00196 approx 0,051 , m/s

Passo 5

Agora, vamos calcular o número de Reynolds para verificar se o escoamento é laminar ou turbulento. A fórmula do número de Reynolds Re = rho V Dmu é:
ReA = 999 times 1,02 times 0,051,14 times 10^-3 approx 44.737
Onde:
  • ReB = 999 times 0,051 times 0,051,14 times 10^-3 approx 2.241 (densidade da água)
  • (viscosidade dinâmica)
Caso A:
Caso B:
Como , o escoamento no Caso A é turbulento. Já para , o escoamento no Caso B é laminar.

Passo 6

Vamos calcular o fator de atrito f = 64Re usando a Equação de Darcy-Weisbach. Para escoamento laminar ( fA approx 0,02 ):
fB = 642241 approx 0,0286
E para escoamento turbulento, podemos usar uma estimativa, por exemplo, .
Caso A (turbulento):
Caso B (laminar):

Passo 7

Agora, vamos calcular a perda de carga hf = f LD V^22g usando a fórmula de Darcy-Weisbach:
hfA = 0,02 times 10,05 times (1,02)^22 times 9,81 approx 0,02 times 20 times 1,040419,62 approx 0,02 times 20 times 0,053 approx 0,0212 , m
Como o comprimento hfB = 0,0286 times 10,05 times (0,051)^22 times 9,81 approx 0,0286 times 20 times 0,00260119,62 approx 0,0286 times 20 times 0,0001327 approx 0,000076 , m da tubulação não foi especificado, vamos assumir que queremos a perda de carga por metro de tubulação. Então, consideramos .
Usando :
Caso A:
Caso B:

Passo 8

Finalmente, vamos calcular a potência requerida pela bomba P = rho g Q hf . A fórmula para a potência hidráulica é:
PA = 999 times 9,81 times 2 times 10^-3 times 0,0212 approx 999 times 9,81 times 0,002 times 0,0212 approx 0,416 , W
Caso A:
PB = 999 times 9,81 times 1 times 10^-4 times 0,000076 approx 999 times 9,81 times 0,0001 times 0,000076 approx 7,45 times 10^-4 , W
Caso B:

Resposta

Para uma tubulação de 5 cm de diâmetro:
  • Caso A: A perda de carga é aproximadamente 0,0212 metros e a potência requerida pela bomba é cerca de 0,416 watts.
  • Caso B: A perda de carga é aproximadamente 0,000076 metros e a potência requerida pela bomba é cerca de 0,000745 watts.

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