Numa competição de tiro ao alvo, a probabilidade de um atirador A errar é 8% e a de um atirador B errar é o dobro. Ocorridos 200 tiros, 100 para cada atirador, e tendo havido erro num dos tiros, qual a probabilidade de o mesmo ter sido dado por A?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos dois atiradores, A e B. A probabilidade de A errar um tiro é de 8%, e a de B é o dobro, ou seja, 16%. Foram feitos 200 tiros no total, 100 por cada atirador. Sabemos que houve um erro em um desses tiros e queremos descobrir qual a probabilidade desse erro ter sido do atirador A. Vamos usar conceitos de probabilidade condicional e a fórmula de Bayes para resolver isso.

Passo 2

Vamos definir os eventos:
  • $ E_A $: O erro foi do atirador A.
  • $ E_B $: O erro foi do atirador B.
Queremos encontrar $ P(E_A | erro) $, que é a probabilidade de que o erro tenha sido do A dado que houve um erro.

Passo 3

Primeiro, precisamos calcular a probabilidade de ocorrer um erro em geral. Como há 100 tiros de cada atirador, a probabilidade total de erro é a soma das probabilidades de erro de A e de B.
A probabilidade de A errar em todos os seus 100 tiros é $ 100 \times 0.08 = 8 $ erros esperados.
A probabilidade de B errar em todos os seus 100 tiros é $ 100 \times 0.16 = 16 $ erros esperados.
Então, o total esperado de erros é $ 8 + 16 = 24 $.

Passo 4

Agora, queremos a probabilidade de que, dentre esses erros, o erro específico foi do atirador A. Como esperamos 8 erros de A num total de 24 erros, a probabilidade é a razão entre esses valores.
P(EA | erro) = Erros de ATotal de erros = 824

Passo 5

Simplificando a fração:
824 = 13 approx 0,3333

Resposta

A probabilidade de que o erro tenha sido do atirador A é de aproximadamente 33,33%.

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