Um casal planeja ter 5 filhos. Qual a probabilidade de nascerem 3 meninos e 2 meninas?

Passo 1

Vamos resolver um problema de probabilidade. Um casal planeja ter 5 filhos e queremos descobrir qual é a probabilidade de terem exatamente 3 meninos e 2 meninas. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade binomial, que nos ajudam a calcular a chance de ocorrer um determinado número de sucessos em várias tentativas independentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que cada nascimento é um evento independente, ou seja, o fato de nascer um menino ou uma menina não afeta o próximo nascimento. Supondo que a probabilidade de ter um menino seja de 50% (ou 0,5) e a de ter uma menina também seja de 50% (0,5).

Passo 3

Vamos usar a fórmula da probabilidade binomial, que é:
P(k) = binomnk cdot p^k cdot (1-p)^n-k
Onde:
  • $ P(k) $ é a probabilidade de ter exatamente $ k $ sucessos (meninos).
  • $ \binom{n}{k} $ é o número de combinações possíveis de $ n $ tentativas tirando $ k $ de cada vez.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • $ n $ é o número total de tentativas.

Passo 4

No nosso caso:
  • $ n = 5 $ (total de filhos)
  • $ k = 3 $ (meninos desejados)
  • $ p = 0,5 $ (probabilidade de ter um menino)
Primeiro, vamos calcular o número de combinações $ \binom{5}{3} $:
n = 5

Passo 5

Agora, aplicamos os valores na fórmula da probabilidade binomial:
P(3) = 10 times (0,5)^3 times (0,5)^5-3
Simplificando:
P(3) = 10 times (0,5)^3 times (0,5)^2 = 10 times (0,125) times (0,25) = 10 times 0,03125 = 0,3125

Resposta

A probabilidade de nascerem exatamente 3 meninos e 2 meninas em 5 filhos é de 31,25%.

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