Os componentes de velocidade de uma partícula no campo de fluxo são definidos por u = 3 m/s e v = 6t m/s, onde t , em segundos. Encontre a expressão para a linha de caminho para a partícula se ela for liberada da origem quando t = 0. A também desenha a linha de fluxo para esta partícula quando t = 2 s. cuidado, aqui u = velocidade em x e v = velocidade em y , logo as duas variam no tempo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula com componentes de velocidade na direção e na direção , onde é o tempo em segundos. Nosso objetivo é encontrar a equação da trajetória dessa partícula, ou seja, a linha que ela segue ao longo do tempo, começando da origem ( ). Além disso, vamos desenhar a linha de fluxo dessa partícula quando . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integrais para encontrar a posição a partir da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se conhecemos e , podemos encontrar as funções de posição e integrando essas velocidades em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos começar encontrando . Como , podemos integrar ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:
Como a partícula parte da origem ( , ), podemos encontrar a constante :
Então, a função é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar . Temos . Integramos em relação a :
Isso resulta em:
Novamente, usando a condição inicial ( , ):
Portanto, a função é:

Passo 5

Agora que temos e , podemos relacionar diretamente com eliminando . Como , podemos resolver para :
Substituindo esse valor de na expressão de :
Então, a equação da trajetória da partícula é:

Passo 6

Agora, vamos desenhar a linha de fluxo para . Primeiro, encontramos a posição da partícula nesse instante:
Então, a partícula está no ponto quando .
A linha de fluxo para esse instante é simplesmente a posição da partícula nesse tempo específico, que é o ponto no gráfico da trajetória .

Resposta

A equação da trajetória da partícula é . Quando , a partícula está no ponto na linha de fluxo.

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