Os componentes de velocidade de uma partícula no campo de fluxo são definidos por
e
, onde t , em segundos. Encontre a expressão para a linha de caminho para a partícula se ela for liberada da origem quando
. A também desenha a linha de fluxo para esta partícula quando
. cuidado, aqui
velocidade em x e
velocidade em y , logo as duas variam no tempo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula com componentes de velocidade
na direção
e
na direção
, onde
é o tempo em segundos. Nosso objetivo é encontrar a equação da trajetória dessa partícula, ou seja, a linha que ela segue ao longo do tempo, começando da origem (
). Além disso, vamos desenhar a linha de fluxo dessa partícula quando
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integrais para encontrar a posição a partir da velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se conhecemos
e
, podemos encontrar as funções de posição
e
integrando essas velocidades em relação ao tempo.
Passo 3
Vamos começar encontrando
. Como
, podemos integrar ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
Como a partícula parte da origem (
,
), podemos encontrar a constante
:
Então, a função
é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar
. Temos
. Integramos em relação a
:
Isso resulta em:
Novamente, usando a condição inicial (
,
):
Portanto, a função
é:
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos relacionar
diretamente com
eliminando
. Como
, podemos resolver para
:
Substituindo esse valor de
na expressão de
:
Então, a equação da trajetória da partícula é:
Passo 6
Agora, vamos desenhar a linha de fluxo para
. Primeiro, encontramos a posição da partícula nesse instante:
Então, a partícula está no ponto
quando
.
A linha de fluxo para esse instante é simplesmente a posição da partícula nesse tempo específico, que é o ponto
no gráfico da trajetória
.
Resposta
A equação da trajetória da partícula é
. Quando
, a partícula está no ponto
na linha de fluxo.
Exercícios relacionados
Encontre a solução explicita para a equação diferenciais.
Para a equação diferencial
, verifique que
é uma solução. (Suponha
0.) Em seguida, encontre a solução particular determinada pela condição inicial
quando
.
Calcule:
Calcule: