Encontre a solução explicita para a equação diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial dada por:
Esse tipo de problema está ligado ao estudo de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Para resolver, a gente vai precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
do outro. Isso é o que chamamos de separação de variáveis. Então, multiplicamos ambos os lados por
e por
:
Agora, temos as variáveis separadas: tudo com
de um lado e tudo com
do outro.
Passo 3
O próximo passo é integrar ambos os lados dessa equação. Vamos começar com o lado esquerdo, que tem
:
Integrando termo a termo:
Passo 4
Agora, vamos integrar o lado direito, que tem
:
Novamente, integrando termo a termo:
Passo 5
Juntando as integrações feitas nos passos anteriores, temos:
Aqui,
é a constante de integração, que aparece quando integramos.
Passo 6
Agora, queremos encontrar a solução explícita para
em função de
. Porém, a equação que chegamos é um pouco complicada para isolar
diretamente, já que ela envolve um polinômio de terceiro grau em
. Isso significa que não conseguimos resolver algebricamente para
de forma simples.
Então, nossa solução fica implícita, ou seja,
está definido em relação a
, mas não de forma isolada.
Resposta
A solução implícita da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Para a equação diferencial
, verifique que
é uma solução. (Suponha
0.) Em seguida, encontre a solução particular determinada pela condição inicial
quando
.
Segundo o economista clássico Malthus,
Onde a taxa
é uma constante de proporcionalidade que relaciona a Natalidade (
) e a Mortalidade (
) e é dada por
- m . A Equação Diferencial Linear Ordinária, acima, apresenta como solução a função dada pela expressão
onde
é a população inicial no instante
, ou seja:
. Portanto, conclui-se que:
- Se
, a população cresce. - Se
, a população se reduzirá.
Lista Eq. Diferencial - Prof. Dr. Irval
Os componentes de velocidade de uma partícula no campo de fluxo são definidos por
e
, onde t , em segundos. Encontre a expressão para a linha de caminho para a partícula se ela for liberada da origem quando
. A também desenha a linha de fluxo para esta partícula quando
. cuidado, aqui
velocidade em x e
velocidade em y , logo as duas variam no tempo.
Calcule: