Encontre a solução explicita para a equação diferenciais. y' = (3x + 1) / (y^2 + 4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial dada por:
Esse tipo de problema está ligado ao estudo de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Para resolver, a gente vai precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com do outro. Isso é o que chamamos de separação de variáveis. Então, multiplicamos ambos os lados por e por :
Agora, temos as variáveis separadas: tudo com de um lado e tudo com do outro.

Passo 3

O próximo passo é integrar ambos os lados dessa equação. Vamos começar com o lado esquerdo, que tem :
Integrando termo a termo:

Passo 4

Agora, vamos integrar o lado direito, que tem :
Novamente, integrando termo a termo:

Passo 5

Juntando as integrações feitas nos passos anteriores, temos:
Aqui, é a constante de integração, que aparece quando integramos.

Passo 6

Agora, queremos encontrar a solução explícita para em função de . Porém, a equação que chegamos é um pouco complicada para isolar diretamente, já que ela envolve um polinômio de terceiro grau em . Isso significa que não conseguimos resolver algebricamente para de forma simples.
Então, nossa solução fica implícita, ou seja, está definido em relação a , mas não de forma isolada.

Resposta

A solução implícita da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Para a equação diferencial x y y' - 3 y = 0, verifique que y = 4 e^(-x) é uma solução. (Suponha x > 0.) Em seguida, encontre a solução particular determinada pela condição inicial y = 2 quando x = 3.
Segundo o economista clássico Malthus,
dP/dt = K P
Onde a taxa k é uma constante de proporcionalidade que relaciona a Natalidade ( n ) e a Mortalidade ( m ) e é dada por K = n - m . A Equação Diferencial Linear Ordinária, acima, apresenta como solução a função dada pela expressão P(t) onde P0 é a população inicial no instante t0, ou seja:
P(t0) = P0. Portanto, conclui-se que:
  1. Se k > 0, a população cresce.
  2. Se k < 0, a população se reduzirá.
    Lista Eq. Diferencial - Prof. Dr. Irval
Os componentes de velocidade de uma partícula no campo de fluxo são definidos por u = 3 m/s e v = 6t m/s, onde t , em segundos. Encontre a expressão para a linha de caminho para a partícula se ela for liberada da origem quando t = 0. A também desenha a linha de fluxo para esta partícula quando t = 2 s. cuidado, aqui u = velocidade em x e v = velocidade em y , logo as duas variam no tempo.
Calcule: 10 - 2