Para a equação diferencial
, verifique que
é uma solução. (Suponha
0.) Em seguida, encontre a solução particular determinada pela condição inicial
quando
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Primeiro, vamos verificar se
é uma solução dessa equação. Depois, vamos encontrar a solução específica que satisfaz a condição inicial
quando
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e substituição de soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é realmente uma solução da equação. Para isso, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
.
Passo 3
Calculando a derivada de
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na equação original:
Passo 5
Vamos simplificar os termos:
Então, a equação fica:
Passo 6
Para a expressão ser igual a zero, cada termo deve se anular ou cancelar. No entanto, como
e
são funções exponenciais diferentes, a única solução possível é que os coeficientes sejam zero, o que não acontece aqui. Portanto, percebemos que houve um erro na substituição.
Passo 7
Na verdade, a equação original é
. Vamos reescrever isso para facilitar:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Passo 8
Agora, substituímos
por
:
Essa equação não é verdadeira para todo
, o que indica que
não é uma solução da equação diferencial dada.
Passo 9
Parece que houve uma confusão na verificação inicial. Vamos reconsiderar a equação original:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 10
Agora, integramos ambos os lados para encontrar
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 11
Aplicando a condição inicial
quando
:
Passo 12
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução particular que satisfaz a condição inicial
quando
é:
Exercícios relacionados
Segundo o economista clássico Malthus,
Onde a taxa
é uma constante de proporcionalidade que relaciona a Natalidade (
) e a Mortalidade (
) e é dada por
- m . A Equação Diferencial Linear Ordinária, acima, apresenta como solução a função dada pela expressão
onde
é a população inicial no instante
, ou seja:
. Portanto, conclui-se que:
- Se
, a população cresce. - Se
, a população se reduzirá.
Lista Eq. Diferencial - Prof. Dr. Irval
Lei de Resfriamento de Newton
Na investigação de um homicídio, ou de uma morte acidental, é, muitas vezes, importante estimar o instante da morte. Há uma forma matemática que pode ser usada para este problema. A partir de observações experimentais, sabe-se que, com uma exatidão satisfatória em muitas circunstâncias, a
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temperatura superficial do corpo se altera com uma taxa proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. É o que se conhece como Lei do Resfriamento de Newton.
A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante Ta do meio ambiente, isto é:
Na investigação de um homicídio, ou de uma morte acidental, é, muitas vezes, importante estimar o instante da morte. Há uma forma matemática que pode ser usada para este problema. A partir de observações experimentais, sabe-se que, com uma exatidão satisfatória em muitas circunstâncias, a
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temperatura superficial do corpo se altera com uma taxa proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. É o que se conhece como Lei do Resfriamento de Newton.
A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura
Onde:
T: temperatura do corpo no instante
: temperatura constante do ambiente
T - Ta: diferença de temperatura
t : tempo
k : constante de proporcionalidade positiva que depende do material que constituí o corpo, sendo que o sinal negativo indica que a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do tempo, em relação à temperatura do meio ambiente.
T: temperatura do corpo no instante
T - Ta: diferença de temperatura
t : tempo
k : constante de proporcionalidade positiva que depende do material que constituí o corpo, sendo que o sinal negativo indica que a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do tempo, em relação à temperatura do meio ambiente.
Problema 1
Suponha que um cadáver seja encontrado em condições suspeitas no instante
. A temperatura do corpo é medida imediatamente pelo perito e o valor obtido é
. O corpo é retirado da cena do suposto crime e duas horas depois sua temperatura é novamente medida e o valor encontrado é
. O crime parece ter ocorrido durante a madrugada e corpo foi encontrado pela manhã bem cedo. A perícia então faz a suposição adicional de que a temperatura do meio ambiente entre a hora da morte Ta e a hora em que o cadáver foi encontrado
tenha se mantido mais ou menos constante
. A perícia sabe também que a temperatura normal de um ser humano vivo é de
. Com esses dados como a perícia pode determinar a hora do crime?
Problema 2
Segundo a lei de Newton, a velocidade de resfriamento de um corpo no ar é proporcional à diferença da temperatura T do corpo e a temperatura Ta do ambiente. Se a temperatura do ambiente é de
e a temperatura do corpo cai, em 20 minutos de
a
, dentro de quanto tempo sua temperatura descerá para
?
Encontre a solução explicita para a equação diferenciais.
Os componentes de velocidade de uma partícula no campo de fluxo são definidos por
e
, onde t , em segundos. Encontre a expressão para a linha de caminho para a partícula se ela for liberada da origem quando
. A também desenha a linha de fluxo para esta partícula quando
. cuidado, aqui
velocidade em x e
velocidade em y , logo as duas variam no tempo.