Para a equação diferencial x y y' - 3 y = 0, verifique que y = 4 e^(-x) é uma solução. (Suponha x > 0.) Em seguida, encontre a solução particular determinada pela condição inicial y = 2 quando x = 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Primeiro, vamos verificar se é uma solução dessa equação. Depois, vamos encontrar a solução específica que satisfaz a condição inicial quando . Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e substituição de soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é realmente uma solução da equação. Para isso, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é .

Passo 3

Calculando a derivada de :

Passo 4

Agora, substituímos e na equação original:

Passo 5

Vamos simplificar os termos:
Então, a equação fica:

Passo 6

Para a expressão ser igual a zero, cada termo deve se anular ou cancelar. No entanto, como e são funções exponenciais diferentes, a única solução possível é que os coeficientes sejam zero, o que não acontece aqui. Portanto, percebemos que houve um erro na substituição.

Passo 7

Na verdade, a equação original é . Vamos reescrever isso para facilitar:
Dividindo ambos os lados por (assumindo ):

Passo 8

Agora, substituímos por :
Essa equação não é verdadeira para todo , o que indica que não é uma solução da equação diferencial dada.

Passo 9

Parece que houve uma confusão na verificação inicial. Vamos reconsiderar a equação original:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 10

Agora, integramos ambos os lados para encontrar :
Onde é a constante de integração.

Passo 11

Aplicando a condição inicial quando :

Passo 12

Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução particular que satisfaz a condição inicial quando é:

Exercícios relacionados

Segundo o economista clássico Malthus,
dP/dt = K P
Onde a taxa k é uma constante de proporcionalidade que relaciona a Natalidade ( n ) e a Mortalidade ( m ) e é dada por K = n - m . A Equação Diferencial Linear Ordinária, acima, apresenta como solução a função dada pela expressão P(t) onde P0 é a população inicial no instante t0, ou seja:
P(t0) = P0. Portanto, conclui-se que:
  1. Se k > 0, a população cresce.
  2. Se k < 0, a população se reduzirá.
    Lista Eq. Diferencial - Prof. Dr. Irval
Lei de Resfriamento de Newton
Na investigação de um homicídio, ou de uma morte acidental, é, muitas vezes, importante estimar o instante da morte. Há uma forma matemática que pode ser usada para este problema. A partir de observações experimentais, sabe-se que, com uma exatidão satisfatória em muitas circunstâncias, a
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temperatura superficial do corpo se altera com uma taxa proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. É o que se conhece como Lei do Resfriamento de Newton.
A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura T(t) de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante Ta do meio ambiente, isto é:
dT/dt = -k(T - Ta)
Onde:
T: temperatura do corpo no instante t
Ta : temperatura constante do ambiente
T - Ta: diferença de temperatura
t : tempo
k : constante de proporcionalidade positiva que depende do material que constituí o corpo, sendo que o sinal negativo indica que a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do tempo, em relação à temperatura do meio ambiente.

Problema 1

Suponha que um cadáver seja encontrado em condições suspeitas no instante t0 = 0. A temperatura do corpo é medida imediatamente pelo perito e o valor obtido é T = 30 °C. O corpo é retirado da cena do suposto crime e duas horas depois sua temperatura é novamente medida e o valor encontrado é T1 = 23°C. O crime parece ter ocorrido durante a madrugada e corpo foi encontrado pela manhã bem cedo. A perícia então faz a suposição adicional de que a temperatura do meio ambiente entre a hora da morte Ta e a hora em que o cadáver foi encontrado t0 tenha se mantido mais ou menos constante T ≈ 20 °C. A perícia sabe também que a temperatura normal de um ser humano vivo é de 37 graus C. Com esses dados como a perícia pode determinar a hora do crime?

Problema 2

Segundo a lei de Newton, a velocidade de resfriamento de um corpo no ar é proporcional à diferença da temperatura T do corpo e a temperatura Ta do ambiente. Se a temperatura do ambiente é de 20 graus Celsius e a temperatura do corpo cai, em 20 minutos de 100 °C a 60 graus Celsius, dentro de quanto tempo sua temperatura descerá para 30 graus C ?
Encontre a solução explicita para a equação diferenciais. y' = (3x + 1) / (y^2 + 4)
Os componentes de velocidade de uma partícula no campo de fluxo são definidos por u = 3 m/s e v = 6t m/s, onde t , em segundos. Encontre a expressão para a linha de caminho para a partícula se ela for liberada da origem quando t = 0. A também desenha a linha de fluxo para esta partícula quando t = 2 s. cuidado, aqui u = velocidade em x e v = velocidade em y , logo as duas variam no tempo.