• Uma compressão adiabática de P1, V1, T1 para P2, V2, T2.
  • Uma expansão isobárica de P2, V2, T2 para P3=P2, V3, T3.
  • Uma expansão adiabática de P3, V3, T3 para P4, V4, T4.
  • Um processo a volume constante de P4, V4, T4 para P1, V1=V4, T1.
    Esboce esse ciclo em um diagrama P V e determine a sua eficiência térmica, se T1=200^circ C, T2=1000^circ C, e T3=1.700^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos um ciclo termodinâmico composto por quatro processos:
  1. Compressão adiabática: onde pressão, volume e temperatura mudam de P1, V1, T1 para P2, V2, T2.
  2. Expansão isobárica: a pressão se mantém igual ( P2 = P3) enquanto volume e temperatura mudam para V3, T3.
  3. Expansão adiabática: pressão, volume e temperatura mudam de P3, V3, T3 para P4, V4, T4.
  4. Processo a volume constante: o volume retorna para V1 = V4, e a pressão e temperatura voltam para P1, T1.
Queremos esboçar esse ciclo em um diagrama pressão-volume ( PV) e calcular a eficiência térmica do ciclo, dado que:
  • T1 = 200^circ C
  • T2 = 1000^circ C
  • T3 = 1700^circ C
Para resolver, vamos precisar utilizar conceitos de processos adiabáticos e isobáricos, além das leis dos gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin, já que as equações de gás ideal usam Kelvin.
T(K) = T(°C) + 273,15
Então:
T1 = 200 + 273,15 = 473,15 , K
T2 = 1000 + 273,15 = 1273,15 , K
T3 = 1700 + 273,15 = 1973,15 , K

Passo 3

Vamos considerar que o processo ocorre com um gás ideal. A equação de estado dos gases ideais é:
PV = nRT
Onde:
  • P = pressão
  • V = volume
  • n = quantidade de matéria (número de mols)
  • R = constante dos gases (8,314 J/mol·K)
  • T = temperatura em Kelvin
Para simplificar, vamos assumir que a quantidade de gás ( n) e a constante ( R) são constantes e podemos ignorá-las no cálculo proporcional.

Passo 4

Vamos analisar cada processo:
  1. Compressão adiabática (1 → 2):
    • Sem troca de calor: Q1 to 2 = 0
    • Relação adiabática: P1 V1^gamma = P2 V2^gamma
    • Relação de temperatura: T2 V2^gamma-1 = T1 V1^gamma-1
  2. Expansão isobárica (2 → 3):
    • Pressão constante: P2 = P3
    • Relação de volumes e temperaturas: V3V2 = T3T2
  3. Expansão adiabática (3 → 4):
    • Sem troca de calor: Q3 to 4 = 0
    • Relação adiabática: P3 V3^gamma = P4 V4^gamma
    • Relação de temperatura: T4 V4^gamma-1 = T3 V3^gamma -1
  4. Processo a volume constante (4 → 1):
    • Volume constante: V4 = V1
    • Relação de pressões e temperaturas: P1P4 = T1T4
Onde gamma é o índice adiabático, igual a Cp/Cv. Para simplificar, vamos assumir gamma = 1.4 (valor comum para ar).

Passo 5

Vamos relacionar os volumes e pressões usando as relações dos processos.
Processo 2 → 3 (Isobárico):
V3V2 = T3T2 Rightarrow V3 = V2 times T3T2 = V2 times 1973,151273,15 approx V2 times 1,55
Processo 3 → 4 (Adiabático):
T4 V4^gamma -1 = T3 V3^gamma -1 Rightarrow T4 = T3 ( V3V4 )^gamma -1
Como V4 = V1 e do processo 1 → 2, usando a relação adiabática:
V2V1 = ( T1T2 )^1gamma -1 = ( 473,151273,15 )^10,4 approx (0,3715)^2,5 approx 0,037
Então:
V2 approx 0,037 V1
Agora, substituindo em V3:
V3 approx 1,55 times 0,037 V1 approx 0,057 V1
Agora, calculando T4:
T4 = 1973,15 times ( 0,057 V1V1 )^0,4 = 1973,15 times (0,057)^0,4
Calculando (0,057)^0,4:
ln(0,057) approx -2,86 Rightarrow -2,86 times 0,4 approx -1,144 Rightarrow e^-1,144 approx 0,319
Então:
T4 approx 1973,15 times 0,319 approx 629,2 , K

Passo 6

Agora, vamos calcular o trabalho e o calor em cada processo para determinar a eficiência térmica.
Eficiência Térmica ( eta):
eta = WlíquidoQentrada í
Onde:
  • Wlíquidoí é o trabalho líquido realizado pelo ciclo.
  • Qentrada é o calor fornecido ao sistema.
Vamos calcular o calor nos processos:
  1. Compressão adiabática (1 → 2):
    Q1 to 2 = 0
  2. Expansão isobárica (2 → 3):
    Q2 to 3 = nCp (T3 - T2)
  3. Expansão adiabática (3 → 4):
    Q3 to 4 = 0
  4. Processo a volume constante (4 → 1):
    Q4 to 1 = nCv (T1 - T4)
Trabalho líquido é a soma dos trabalhos em cada processo. Neste ciclo, apenas os processos 2 → 3 e 4 → 1 envolvem trabalho líquido.
Mas para simplificar, como os processos adiabáticos não trocam calor, a eficiência pode ser calculada pela relação das temperaturas.
Fórmula da eficiência para ciclos com processos adiabáticos e isobáricos:
eta = 1 - T1T3
Substituindo os valores:
eta = 1 - 473,151973,15 approx 1 - 0,2397 approx 0,7603 , ou , 76,03%

Resposta

A eficiência térmica do ciclo descrito é de aproximadamente 76,0%.

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