O comprimento médio de hastes metálicas produzidas em duas fábricas diferentes foi comparado. Amostras de 20 hastes de cada fábrica revelaram as seguintes médias:
Fábrica A: média , desvio padrão
Fábrica B: média , desvio padrão
Teste se há diferença significativa nos comprimentos médios (nível de significância de ).

Passo 1

Beleza, vamos começar! O enunciado fala sobre comparar o comprimento médio de hastes metálicas de duas fábricas diferentes, A e B. A gente quer saber se a diferença nas médias (100 cm vs 98 cm) é significativa, ou seja, não é só por acaso. Para isso, vamos usar o teste de hipóteses para duas médias. Precisamos das médias, desvios padrão e do tamanho das amostras das duas fábricas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses. A hipótese nula ( ) é que não há diferença nas médias das duas fábricas. Já a hipótese alternativa ( ) é que existe uma diferença significativa entre elas.

Passo 3

Vamos determinar o nível de significância, que é de 5% ou 0,05. Isso significa que estamos dispostos a aceitar uma chance de 5% de errar ao rejeitar a hipótese nula.

Passo 4

Agora, vamos calcular o erro padrão da diferença entre as médias. A fórmula para o erro padrão ( ) é:
Onde:
  • cm e cm são os desvios padrão
  • são os tamanhos das amostras
Então,

Passo 5

Vamos calcular a estatística do teste ( ). A fórmula é:
Onde:
  • cm e cm são as médias das amostras
Então,

Passo 6

Agora, vamos encontrar o valor crítico do para um teste bilateral com nível de significância de 5% e graus de liberdade aproximados. Como os tamanhos das amostras são iguais, usamos . Consultando a tabela , o valor crítico para e é aproximadamente 2,024.

Passo 7

Comparamos o valor calculado de (2,48) com o valor crítico (2,024). Como , a gente rejeita a hipótese nula.

Resposta

Existe uma diferença significativa nos comprimentos médios das hastes das fábricas A e B no nível de 5% de significância.

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