O comprimento médio de hastes metálicas produzidas em duas fábricas diferentes foi comparado. Amostras de 20 hastes de cada fábrica revelaram as seguintes médias:
Fábrica A: média =100 cm, desvio padrão =3 cm
Fábrica B: média =98 cm, desvio padrão =2 cm
Teste se há diferença significativa nos comprimentos médios (nível de significância de 5 % ).

Passo 1

Beleza, vamos começar! O enunciado fala sobre comparar o comprimento médio de hastes metálicas de duas fábricas diferentes, A e B. A gente quer saber se a diferença nas médias (100 cm vs 98 cm) é significativa, ou seja, não é só por acaso. Para isso, vamos usar o teste de hipóteses para duas médias. Precisamos das médias, desvios padrão e do tamanho das amostras das duas fábricas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses. A hipótese nula ( H0) é que não há diferença nas médias das duas fábricas. Já a hipótese alternativa ( H1) é que existe uma diferença significativa entre elas.
H0: muA = muB H1: muA neq muB

Passo 3

Vamos determinar o nível de significância, que é de 5% ou 0,05. Isso significa que estamos dispostos a aceitar uma chance de 5% de errar ao rejeitar a hipótese nula.

Passo 4

Agora, vamos calcular o erro padrão da diferença entre as médias. A fórmula para o erro padrão ( SE) é:
SE = raizsA^2nA + sB^2nB
Onde:
  • sA = 3 cm e sB = 2 cm são os desvios padrão
  • nA = nB = 20 são os tamanhos das amostras
Então,
SE = raiz3^220 + 2^220 = raiz920 + 420 = raiz1320 approx 0,806

Passo 5

Vamos calcular a estatística do teste ( t). A fórmula é:
t = barXA - barXBSE
Onde:
  • barXA = 100 cm e barXB = 98 cm são as médias das amostras
Então,
t = 100 - 980,806 approx 20,806 approx 2,48

Passo 6

Agora, vamos encontrar o valor crítico do t para um teste bilateral com nível de significância de 5% e graus de liberdade aproximados. Como os tamanhos das amostras são iguais, usamos df = nA + nB - 2 = 38. Consultando a tabela t, o valor crítico para df=38 e alpha/2=0,025 é aproximadamente 2,024.

Passo 7

Comparamos o valor calculado de t (2,48) com o valor crítico (2,024). Como 2,48 > 2,024, a gente rejeita a hipótese nula.

Resposta

Existe uma diferença significativa nos comprimentos médios das hastes das fábricas A e B no nível de 5% de significância.

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