Um experimento para medir o tempo de vida de um equipamento metálico revelou uma média de 150 horas, com desvio padrão de 10 horas, em uma amostra de 16 equipamentos. Teste, ao nível de significância de , se o tempo de vida médio é diferente de 155 horas.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está nos pedindo. Temos uma média observada de tempo de vida de equipamentos metálicos que foi de 150 horas, com um desvio padrão de 10 horas, baseado em uma amostra de 16 equipamentos. A questão quer saber, usando um nível de significância de 5%, se o tempo de vida médio desses equipamentos é diferente de 155 horas. Para resolver isso, vamos usar o teste de hipótese para a média, especificamente o teste t de Student, já que o tamanho da amostra é pequeno (menor que 30) e não conhecemos o desvio padrão da população.

Passo 2

Primeiro, precisamos estabelecer as hipóteses que vamos testar. As hipóteses são declarações que queremos verificar com base nos dados da amostra.
  • Hipótese Nula ( ): A média de vida dos equipamentos é igual a 155 horas.
  • Hipótese Alternativa ( ): A média de vida dos equipamentos é diferente de 155 horas.

Passo 3

Em seguida, vamos escolher o teste estatístico adequado. Como estamos lidando com a média de uma população e a amostra é pequena, vamos utilizar o teste t de Student. Esse teste nos ajudará a determinar se a diferença observada entre a média da amostra e a média hipotética é significativa ou não.
A fórmula para o teste t é:
Onde:
  • é a média da amostra.
  • é a média hipotética.
  • é o desvio padrão da amostra.
  • é o tamanho da amostra.

Passo 4

Vamos calcular o valor de t usando os valores fornecidos:
Substituindo na fórmula:

Passo 5

Agora, precisamos determinar o valor crítico de t para um teste bicaudal com nível de significância de 5% e 15 graus de liberdade (pois ).
Consultando uma tabela t ou usando uma calculadora estatística, encontramos que o valor crítico de t para e (teste bicaudal) é aproximadamente .

Passo 6

Comparamos o valor calculado de t com os valores críticos:
Como o valor de t calculado (-2) está dentro do intervalo a , não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base nos dados fornecidos e no teste realizado, não há evidências suficientes para concluir que o tempo de vida médio dos equipamentos é diferente de 155 horas ao nível de significância de 5%.

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Resp.: .