O comprimento do pêndulo de alumínio de um relógio é 0,2480 m quando a temperatura é 23,30^circ C. O comprimento foi escolhido para que o período do pêndulo a essa temperatura fosse exatamente 1,000 s. Se o relógio for transportado para um lugar, com a mesma aceleração da gravidade, onde a temperatura seja -5,00^circ C, qual será a diferença entre o tempo indicado pelo relógio e o tempo real após um dia de funcionamento?
a) 69,3 s
b) 115 s
c) 87,2 s
d) 31,0 s
e) 11,5 s

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! Temos um pêndulo de alumínio que, a uma temperatura de , tem um comprimento de e um período de . A gente precisa descobrir qual será a diferença entre o tempo que o relógio vai indicar e o tempo real após um dia inteiro se a temperatura mudar para . Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples, período do pêndulo e expansão térmica dos materiais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a temperatura afeta o comprimento do pêndulo. Materiais, como o alumínio, se expandem ou contraem quando a temperatura muda. Isso acontece porque as moléculas vibram mais quando estão mais quentes e menos quando estão mais frias. A mudança no comprimento ( De) do pêndulo pode ser calculada usando a fórmula da expansão linear:
Onde:
  • é o coeficiente de dilatação linear do alumínio.
  • é o comprimento original do pêndulo.
  • é a variação de temperatura.

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • Comprimento original,
  • Temperatura inicial,
  • Temperatura final,
  • Variação de temperatura,
O coeficiente de dilatação linear para o alumínio é aproximadamente .

Passo 4

Agora, vamos calcular a mudança no comprimento do pêndulo devido à variação de temperatura:
De
Isso significa que o comprimento do pêndulo diminui em quando a temperatura cai para .

Passo 5

Com a nova variação no comprimento, podemos encontrar o novo comprimento do pêndulo:
L2 = L + De

Passo 6

O período de um pêndulo é dado por:
T = 2pi raizLg
Onde:
  • é o período.
  • é o comprimento do pêndulo.
  • é a aceleração da gravidade ( ).
Como o novo comprimento é ligeiramente menor que , o novo período será menor que .

Passo 7

Vamos calcular o novo período T2 = 2pi raiz0,2478319,81 approx 2pi raiz0,0253 approx 2pi times 0,1591 approx 1,000 s - 0,0003 s = 0,9997 s :
Então, o período diminui em aproximadamente .

Passo 8

Agora, queremos saber a diferença de tempo após um dia inteiro, que são De. O relógio está calibrado para ter um período de , mas na verdade cada período é . A diferença de tempo por período é:

Passo 9

Multiplicando essa diferença pelo número de períodos em um dia:
De
Arredondando, a diferença é de aproximadamente . Porém, considerando aproximações feitas nos cálculos, a resposta mais próxima das opções disponíveis é:

Resposta

d)

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