O comprimento do pêndulo de alumínio de um relógio é
quando a temperatura é
. O comprimento foi escolhido para que o período do pêndulo a essa temperatura fosse exatamente
. Se o relógio for transportado para um lugar, com a mesma aceleração da gravidade, onde a temperatura seja
, qual será a diferença entre o tempo indicado pelo relógio e o tempo real após um dia de funcionamento?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! Temos um pêndulo de alumínio que, a uma temperatura de
, tem um comprimento de
e um período de
. A gente precisa descobrir qual será a diferença entre o tempo que o relógio vai indicar e o tempo real após um dia inteiro se a temperatura mudar para
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples, período do pêndulo e expansão térmica dos materiais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a temperatura afeta o comprimento do pêndulo. Materiais, como o alumínio, se expandem ou contraem quando a temperatura muda. Isso acontece porque as moléculas vibram mais quando estão mais quentes e menos quando estão mais frias. A mudança no comprimento (
) do pêndulo pode ser calculada usando a fórmula da expansão linear:
Onde:
-
é o coeficiente de dilatação linear do alumínio. -
é o comprimento original do pêndulo. -
é a variação de temperatura.
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos:
- Comprimento original,
- Temperatura inicial,
- Temperatura final,
- Variação de temperatura,
O coeficiente de dilatação linear para o alumínio é aproximadamente
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a mudança no comprimento do pêndulo devido à variação de temperatura:
Isso significa que o comprimento do pêndulo diminui em
quando a temperatura cai para
.
Passo 5
Com a nova variação no comprimento, podemos encontrar o novo comprimento do pêndulo:
Passo 6
O período de um pêndulo é dado por:
Onde:
-
é o período. -
é o comprimento do pêndulo. -
é a aceleração da gravidade ( ).
Como o novo comprimento
é ligeiramente menor que
, o novo período
será menor que
.
Passo 7
Vamos calcular o novo período
:
Então, o período diminui em aproximadamente
.
Passo 8
Agora, queremos saber a diferença de tempo após um dia inteiro, que são
. O relógio está calibrado para ter um período de
, mas na verdade cada período é
. A diferença de tempo por período é:
Passo 9
Multiplicando essa diferença pelo número de períodos em um dia:
Arredondando, a diferença é de aproximadamente
. Porém, considerando aproximações feitas nos cálculos, a resposta mais próxima das opções disponíveis é:
Resposta
d)